\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
\text{AB} & = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\\
& = \sqrt{(1+2)^2+(1-4)^2}\\
& = \sqrt{9+9}\\
& = \sqrt{9\times2}\\
\Aboxed{ & = 3\sqrt{2}}
\end{aligned}$

\item Le coefficient directeur de (AB) est : $\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{3}{-3}=-1$. Ainsi, l'équation réduite de (AB) est : $y=-x+p$.

$\text{B}\in\text{(AB)}$ donc $y_B=-x_A+p$, soit $1=-1+p$. Donc $p=2$.

\medskip

\underline{Ainsi, (AB) : $y=-x+2$.}

\item (MH) : $y=mx+p$ est perpendiculaire à (AB) donc le produit de $m$ et du coefficient directeur de (AB) doit être égal à $-1$, soit $m=1$. Ainsi, (MH) : $y=x+p$, avec $y_M=x_M+p$, soit $p=y_M-x_M=a^2-a$.

\medskip

\underline{Ainsi, (MH) : $y=x+a^2-a$.}

\item H est le point d'intersection de (AB) et (MH) donc $y_H=-x_H+2$ (car $\text{H}\in\text{(AB)}$) et $y_H=x_H+a^2-a$ (car $\text{H}\in\text{(MH)}$).

Donc $-x_H+2=x_H+a^2-a$, soit $2x_H=2-a^2+a$ ou encore $x_H=1-\dfrac{1}{2}(a^2-a)$.

On en déduit alors que $y_H=-x_H+2=\dfrac{1}{2}(a^2-a)-1+2=1+\dfrac{1}{2}(a^2-a)$.

\item  L'aire de ABM est égale à $\dfrac{\rm AB \times MH}{2}$.

AB étant constante, optimiser l'aire de ABM revient à optimiser MH, et donc $\rm MH^2$.

\begin{align*}
\text{MH}^2 
& = (x_H-x_M)^2+(y_M-y_H)^2\\
& = \left[1-\dfrac{1}{2}(a^2-a)-a\right]^2 + \left[1+\dfrac{1}{2}(a^2-a)-a^2\right]^2\\
& = \left[1-\dfrac{1}{2}(a^2+a)\right]^2 + \left[1-\dfrac{1}{2}(a^2-a)+a\right]^2\\
& = 2\left[1-\dfrac{1}{2}(a^2+a)\right]^2
\end{align*}

Donc optimiser MH$^2$ revient à optimiser $f(a)=1-\dfrac{1}{2}(a^2+a)$, soit en développant : $f(a)=-\dfrac{1}{2}a^2-\dfrac{1}{2}a+1$.

\item $f$ est un polynôme du second degré, où le coefficient du terme de degré 2 est négatif; donc $f$ admet un maximum pour $a=-\dfrac{-\frac{1}{2}}{2\times\left(-\frac{1}{2}\right)}=-\dfrac{1}{2}$.

\medskip

\underline{Ainsi, l'aire de ABM est optimale lorsque l'abscisse de M est $-\dfrac{1}{2}$.}
\end{enumerate}