\exercice[style=R,N=4]{Optimisation d'une aire dans une parabole}

On considère la parabole d'équation $y=x^2$ sur laquelle se trouvent deux points : A\coord{-2}{4} et B\coord{1}{1}.

Soit M un point de cette parabole d'abscisse $a$, $-2\leqslant a\leqslant 1$.

On cherche à optimiser l'aire du triangle ABM.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[thick,purple] plot[domain=-2:1,samples=100] (\x,{\x*\x});
\filldraw[fill=violet!5,draw=violet] (-2,4) node[above left] {A} -- (1,1) node[below right] {B} -- (-0.5,0.25) node[left] {M} -- cycle;
\rep{-2.5}{-0.5}{1.5}{4.5}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer AB.
\item\label{q2-04-derivation-13} Déterminer une équation de la droite (AB).
\item\label{q3-04-derivation-13} Soit H le pied de la hauteur du triangle ABM issue du sommet M.

Déterminer une équation de la droite (MH) en fonction de $a$.

\item Déduire des questions \ref{q2-04-derivation-13} et \ref{q3-04-derivation-13} les coordonnées de H en fonction de $a$.

\item Justifier qu'optimiser l'aire du triangle ABM revient à optimiser $\text{MH}^2$, et donc à optimiser la fonction $f$ définie par $f(a)=-\dfrac{1}{2}a^2-\dfrac{1}{2}a+1$.

\item En déduire alors l'abscisse du point M telle que l'aire du triangle ABM soit optimale.
\end{enumerate}