\begin{enumerate}
\item L'aire du disque de fond est : $\pi R^2$;

l'aire de la surface latérale est : $2\pi Rh$ (c'est un rectangle de largeur $h$ et de longueur égale au périmètre du disque de base, soit $2\pi R$).

Donc $f(R)=\pi R^2 + 2\pi Rh$.

Or, le volume d'un cylindre est :
\[
V=\pi R^2h
\]
donc:
\[
h = \dfrac{V}{\pi R^2}.
\]
Alors,
\[
f(R)=\pi R^2 + 2\pi R\times\dfrac{V}{\pi R^2}=\boxed{\pi R^2+\dfrac{2V}{R}}
\]

\item $\begin{aligned}[t]
f'(R) & = 2\pi R-\dfrac{2V}{R^2}\\
& = 2\times\dfrac{\pi R^3-V}{R^2}.
\end{aligned}$

Ainsi,
\[
f'(R)=0 \iff R^3=\dfrac{V}{\pi}=\dfrac{\pi R^2 h}{\pi}=R^2 h.
\]
Donc, en simplifiant par $R^2$ :
\[
R=h.
\]
Ainsi, l'extremum de la fonction $f$ est atteint pour $R=h$.

Il est aisé de vérifier que $f'(R)<0$ pour $R<h$ donc cet extremum est un minimum.

\medskip

Nous avons bien vérifié que la surface de la casserole est minimale quand la hauteur de la casserole est égale à son rayon. Prenez une casserole chez voue et essayez !
\end{enumerate}