\exercice[style=A,N=3]{Deux courbes}

On considère les fonctions $f$ et $g$ dont les courbes représentatives sont données ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[gray,dashed] (-5,-4) grid (5,5);
\clip (-5,-4) rectangle (5,5);
\draw[thick,->,>=stealth'] (-5,0) -- (5,0);
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,-4) -- (0,5);
\node[below left] at (0,0) {O};
\node[below] at (1,0) {1};
\node[left] at (0,1) {1};
\draw[thick,violet] plot[domain=-5:3.9,samples=100] (\x,{0.125*(\x*\x*\x+3*\x*\x-10*\x-24)}) node[below right,outer ysep=1em] {$\mathcal{C}_f$};
\fill (-4,0) circle (2pt) node[above left] {A};
\fill (-2,0) circle (2pt) node[above right] {B};
\fill (0,-3) circle (2pt) node[below left] {C};
\fill (2,-3) circle (2pt) node[below right] {D};
\fill (3,0) circle (2pt) node[below right] {E};
\draw[thick,purple] plot[domain=-5:3.7,samples=100] (\x,{-\x*\x*\x/16-3*\x*\x/32+3*\x/8-1}) node[above right,outer ysep=0.5em] {$\mathcal{C}_g$};
\fill (-2,-13/8) circle (2pt) node[below right] {F};
\draw[<->,>=stealth'] (-2.75,-13/8) -- (-1.25,-13/8);
\fill (1,-25/32) circle (2pt) node[above right] {G};
\draw[<->,>=stealth'] (.25,-25/32) -- (1.75,-25/32);
\fill (0,-1) circle (2pt) node[below right] {H};
\end{tikzpicture}
\end{center}

On sait que :

\begin{itemize}
\item les fonctions $f$ et $g$ sont des polyn\^omes de degré 3 ;
\item $\mathcal{C}_f$ passe par les points A, B, C, D et E ;
\item $\mathcal{C}_g$ passe par les points A et H;
\item les tangentes à $\mathcal{C}_g$ aux points d'abscisse $-2$ et $1$ sont horizontales.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item \`A l'aide des informations ci-dessous, déterminer l'expression factorisée de $f(x)$.
\item \`A l'aide des informations ci-dessous, déterminer une expression de $g(x)$.
\item Trouver les abscisses des points d'intersection des deux courbes par le calcul.
\end{enumerate}