\begin{enumerate}
\item\label{q1trigo} $\begin{aligned}[t]
\sqrt{a}\cos x=\sqrt{b}\sin x & \Longrightarrow \left(\sqrt{a}\cos x\right)^2=\left(\sqrt{b}\sin x\right)^2\\
& \Longrightarrow a\cos^2x=b\sin^2 x\\
& \Longrightarrow a\cos^2x=b(1-\cos^2x)\\
& \Longrightarrow a\cos^2x=b-b\cos^2x\\
& \Longrightarrow a\cos^2x+b\cos^2x=b\\
& \Longrightarrow (a+b)\cos^2x=b\\
& \Longrightarrow \cos^2x=\dfrac{b}{a+b}\qquad\text{ car }a+b\neq0
\end{aligned}$

Ainsi, les solutions de l'équation $\sqrt{a}\cos x=\sqrt{b}\sin x$ sont aussi les solutions de l'équation\linebreak $\cos^2x=\dfrac{b}{a+b}$.

\paragraph*{Remarque :} la réciproque est fausse; les solutions de l'équation $\cos^2x=\dfrac{b}{a+b}$ ne sont pas nécessairement solutions de l'équation $\sqrt{a}\cos x=\sqrt{b}\sin x$ à cause des simples implications (pas d'équivalences).

En effet, quand nous élevons au carré l'égalité \og $\sqrt{a}\cos x=\sqrt{b}\sin x$ \fg, nous n'avons pas d'équivalence car $A^2=B^2 \iff \left(\begin{array}{l}
a=b\\\text{ou}\\a=-b
\end{array}\right.$.

\newpage

\item $a=3$ et $b=1$. Alors,
\begin{equation}
\cos^2x=\dfrac{1}{4}\tag{E'}
\end{equation}

\begin{align*}
\cos^2x=\dfrac{1}{4} & \Longleftrightarrow \cos^2x-\dfrac{1}{4}=0\\
& \Longleftrightarrow \left(\cos x-\dfrac{1}{2}\right)\left(\cos x+\dfrac{1}{2}\right)=0\\
& \Longleftrightarrow \cos x=\dfrac{1}{2}\qquad\text{ou}\qquad \cos x=-\dfrac{1}{2}\\
& \Longleftrightarrow \cos x=\cos\dfrac{\pi}{3}\qquad\text{ou}\qquad\cos x=\cos\dfrac{2\pi}{3}\\
& \Longleftrightarrow 
\left(
\begin{array}{l}
x=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\\
\kern-0.5em\text{ou}\\
x=-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi
\end{array}
\right.
\qquad\text{ou}\qquad 
\left(
\begin{array}{l}
x=\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi\\
\kern-0.5em\text{ou}\\
x=-\dfrac{2\pi}{3}
\end{array}
\right.,\ k\in\Z
\end{align*}

\item D'après la question \ref{q1trigo}, parmi les solutions de (E') se trouvent les solutions de :
\begin{equation}
3\cos x=\sin x\tag{E}
\end{equation}

On voit alors que $\cos x$ et $\sin x$ doivent avoir le m\^eme signe, donc $x\in\intervOF{-\pi}{-\dfrac{\pi}{2}}\cup\intervFF{0}{\dfrac{\pi}{2}}$.

Les seules solutions de (E') appartenant à $\intervOF{-\pi}{-\dfrac{\pi}{2}}\cup\intervFF{0}{\dfrac{\pi}{2}}$ sont $\dfrac{\pi}{3}$ et $-\dfrac{2\pi}{3}$ donc l'ensemble solution de (E) sur \intervOF{-\pi}{\pi} est :
\[
\boxed{\mathscr{S}=\left\{-\dfrac{2\pi}{3}~;~\dfrac{\pi}{3} \right\}}
\]
\end{enumerate}