\begin{enumerate}
\item $2\cos^2x+\cos x-1=0$. On pose $X=\cos x$. 

Le poly\^ome $2X^2+X-1$ a pour discriminant :
\[
\Delta=1-4\times2\times(-1)=9.
\]
Ses deux racines sont donc :
\[
X_1=\dfrac{-1-3}{4}=-1\qquad\text{et}\qquad
X_2=\dfrac{-1+3}{4}=\dfrac{1}{2}.
\]
Les solutions $x_1$ et $x_2$ de l'équation $2\cos^2x+\cos x-1=0$ vérifient donc :
\[
\cos x_1=-1\qquad\text{et}\qquad\cos x_2=\dfrac{1}{2}.\]
On a alors :
\[
x_1=\pi+2k\pi\qquad\text{et}\qquad x_2=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\text{ ou } x_2=-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi,\ k\in\Z.
\]

L'ensemble solution de l'équation $2\cos^2x+\cos x-1=0$ est donc :
\[
\boxed{\mathscr{S}=\left\{\pi+2k\pi~;~\dfrac{\pi}{3}+2k\pi~;~-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi,\ k\in\Z\right\}}
\]

\item $2\sin^2x-\big(4+\sqrt{2}\big)\sin x+2\sqrt{2}=0$. On pose $X=\sin x$.

Une racine évidente du polyn\^ome $2X^2-\big(4+\sqrt{2}\big)X+2\sqrt{2}$ est : $X_1=2$ donc l'autre racine est telle que $X_1X_2=\dfrac{c}{a}=\sqrt{2}$, donc $X_2=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Ainsi, 
\[
\sin x_1=2\qquad\text{et}\qquad \sin x_2=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
\]
$x_1$ n'existe pas car un sinus ne peut pas \^etre égal à 2.

\begin{align*}
\sin x_2=\sin\dfrac{\pi}{4}&  \Longleftrightarrow x_2=\dfrac{\pi}{4}+2k\pi\text{ ou } x_2=\pi-\dfrac{\pi}{4}+2k\pi,\ k\in\Z\\
& \Longleftrightarrow x_2=\dfrac{\pi}{4}+2k\pi\text{ ou }x_2=\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi,\ k\in\Z
\end{align*}

L'ensemble solution de l'équation $2\sin^2x-\big(4+\sqrt{2}\big)\sin x+2\sqrt{2}=0$ est donc :
\[
\boxed{\mathscr{S}=\left\{\dfrac{\pi}{4}+2k\pi~;~\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi,\ k\in\Z \right\}}
\]

\item $4\cos^2x+2\big(1-\sqrt{3}\big)\cos x-\sqrt{3}=0$. Posons $X=\cos x$.

Le polyn\^ome $4X^2+2\big(1-\sqrt{3}\big)X-\sqrt{3}$ ne possédant pas de racine évidente, on calcule son discriminant :
\begin{align*}
\Delta & = 4\big(1-\sqrt{3}\big)^2-4\times4\times\big(-\sqrt{3}\big)\\
& = 4\big(1-2\sqrt{3}+3\big)+16\sqrt{3}\\
& = 16+8\sqrt{3}.
\end{align*}

On cherche à mettre $\Delta$ sous la forme d'un carré ; on veut donc trouver $a$ et $b$ tels que :
\[ 16+8\sqrt{3}=\big(a+b\sqrt{3}\big)^2\]
soit :
\[
16+8\sqrt{3}=a^2+3b^2+2ab\sqrt{3}.
\]
Dans un premier temps, on doit donc avoir :
\[ 8=2ab\]
soit :
\[ b=\dfrac{4}{a}.\]
Dans un second temps, on doit avoir :
\[ a^2+b^2=16\]
donc :
\[ a^2+\dfrac{16}{a^2}=16\]
ou encore :
\[ a^4+16=16a^2\]
c'est-à-dire:
\[ a^4-16a^2+16=0.\]
$a=2$ est une racine évidente, donc $b=\dfrac{4}{2}=2$.

Ainsi,
\[ \Delta=\big(2+2\sqrt{3}\big)^2.\]
Les deux racines du polyn\^ome $4X^2+2\big(1-\sqrt{3}\big)X-\sqrt{3}$ sont donc :
\[
X_1=\dfrac{2\big(\sqrt{3}-1\big)-\big(2+2\sqrt{3}\big)}{8}=-\dfrac{1}{2}
\]
et
\[
X_2=\dfrac{2\big(\sqrt{3}-1\big)+\big(2+2\sqrt{3}\big)}{8}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
\]

Les solutions $x_1$ et $x_2$ de l'équation $4\cos^2x+2\big(1-\sqrt{3}\big)\cos x-\sqrt{3}=0$ vérifient donc :
\[
\cos x_1=-\dfrac{1}{2}\qquad\text{ et }\cos x_2=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
\]
soit :
\[
\cos x_1=\cos\dfrac{2\pi}{3}\qquad\text{ et }\cos x_2=\cos\dfrac{\pi}{6}.
\]
Ainsi,
\[
x_1=\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi\text{ ou }x_1=-\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi\quad\text{ et }\quad x_2=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\text{ ou }x_2=-\dfrac{\pi}{6}+2k\pi,\ k\in\Z.
\]

L'ensemble solution est donc :
\[
\boxed{\mathscr{S}=\left\{ \dfrac{2\pi}{3}+2k\pi~;~-\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi~;~\dfrac{\pi}{6}+2k\pi~;~-\dfrac{\pi}{6}+2k\pi,\ k\in\Z \right\}}
\]

\item $3\sin^2x-5\cos^2x+1=0$.

On sait que $\sin^2x=1-\cos^2x$ donc :
\begin{align*}
3\sin^2x-5\cos^2x+1=0 & \Longleftrightarrow 3(1-\cos^2x)-5\cos^2x+1=0\\
& \Longleftrightarrow -8\cos^2x+4=0\\
&\Longleftrightarrow\cos^2x-\dfrac{1}{2}=0\\
& \Longleftrightarrow \left(\cos x-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(\cos x+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=0\\
& \Longleftrightarrow \cos x=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\text{ ou }\cos x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\
& \Longleftrightarrow x=-\dfrac{3\pi}{4}\text{ ou }x=\dfrac{3\pi}{4}\text{ ou }x=\dfrac{\pi}{4}\text{ ou }x=-\dfrac{\pi}{4}
\end{align*}

L'ensemble solution est donc :
\[
\boxed{\mathscr{S}=\left\{\dfrac{\pi}{4}+2k\pi~;~-\dfrac{\pi}{4}+2k\pi~;~-\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi~;~\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi,\ k\in\Z \right\}}
\]

\item $\cos^2(2x)+2\sin^2(2x)-\dfrac{5}{4}=0$.

On remplace $\sin^2(2x)$ par $1-\cos^2(2x)$ :

\begin{align*}
\cos^2(2x)+2\sin^2(2x)-\dfrac{5}{4}=0 & \Longleftrightarrow \cos^2(2x)+2\big(1-\cos^2(2x)\big)-\dfrac{5}{4}=0\\
&\Longleftrightarrow -\cos^2(2x)+\dfrac{3}{4}=0\\
& \Longleftrightarrow \cos^2(2x)=\dfrac{3}{4}\\
& \Longleftrightarrow \cos(2x)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{ ou }\cos(2x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\
&\Longleftrightarrow 2x=\dfrac{5\pi}{6}\text{ ou }2x=-\dfrac{5\pi}{6}\text{ ou }2x=-\dfrac{\pi}{6}\text{ ou }2x=\dfrac{\pi}{6}\\
&\Longleftrightarrow x=-\dfrac{5\pi}{12}\text{ ou }x=\dfrac{5\pi}{12}\text{ ou }x=-\dfrac{\pi}{12}\text{ ou }x=\dfrac{\pi}{12}
\end{align*}

L'ensemble solution est donc :
\[
\boxed{\mathscr{S}=\left\{-\dfrac{5\pi}{12}+2k\pi~;~-\dfrac{\pi}{12}+2k\pi~;~\dfrac{\pi}{12}+2k\pi~;~\dfrac{5\pi}{12}+2k\pi,\ k\in\Z \right\}}
\]
\end{enumerate}