\begin{enumerate}
\item\label{q1trigo06} Le polyn\^ome $16X^2-20X+5$ a pour discriminant :
\[
\Delta=400-4\times16\times5=80.
\]
Ses deux racines sont donc :
\[
X_1=\dfrac{5-\sqrt{5}}{8}\qquad\text{et}\qquad X_2=\dfrac{5+\sqrt{5}}{8}.
\]
L'équation $16X^2-20X+5=0$ a donc pour ensemble solution :
\[
\boxed{\mathscr{S}=\left\{\dfrac{5-\sqrt{5}}{8}~;~\dfrac{5+\sqrt{5}}{8} \right\}}
\]

\item En prenant $x=\dfrac{\pi}{5}$, la formule donne :
\[
\sin 5\times\dfrac{\pi}{5} = 16\sin^5 \dfrac{\pi}{5}-20\sin^3\dfrac{\pi}{5}+5\sin \dfrac{\pi}{5}.
\]
soit, en posant $S=\sin\dfrac{\pi}{5}$ :
\[
\boxed{0=S(16S^4-20S^2+5)}
\]

\item $S\neq0$ donc on sait que $16S^4-20S^2+5=0$.
Posons $s=S^2$ ; alors ,
\[ 16s^2-20s+5=0.\]
D'après la question \ref{q1trigo06}, $s=\dfrac{5-\sqrt{5}}{8}$ ou $s=\dfrac{5+\sqrt{5}}{8}$.

On a alors $S=\sqrt{\dfrac{5-\sqrt{5}}{8}}\approx0,35$ ou $S=\sqrt{\dfrac{5+\sqrt{5}}{8}}\approx0,9$ : on exclut les valeurs négatives car $\sin\dfrac{\pi}{8}>0$ vu que $\dfrac{\pi}{8}\in\intervFF{0}{\dfrac{\pi}{2}}$.

\medskip

Or, $\dfrac{\pi}{5}<\dfrac{\pi}{4}$ donc $\sin\dfrac{\pi}{5}<\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\sin\dfrac{\pi}{4}$.

Ainsi,
\[
\boxed{\sin\dfrac{\pi}{5}=\sqrt{\dfrac{5-\sqrt{5}}{8}}}
\]

\item \`A l'aide de la relation :
\[ \forall x\in\R,\qquad \cos^2x+\sin^2x=1\;,\]
on peut écrire :
\[
\cos^2\dfrac{\pi}{5}+\dfrac{5-\sqrt{5}}{8}=1
\]
ou encore :
\[
\cos^2\dfrac{\pi}{5}=1-\dfrac{5-\sqrt{5}}{8}=\dfrac{3-\sqrt{5}}{8}.
\]
Ainsi,
\[
\boxed{\cos\dfrac{\pi}{5}=\sqrt{\dfrac{3-\sqrt{5}}{8}}}
\]

\item
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
4\cos^2\dfrac{\pi}{5}-2\cos\dfrac{\pi}{5}-1 & = 
4\left(\dfrac{3-\sqrt{5}}{8}\right)-2\sqrt{\dfrac{3-\sqrt{5}}{8}}-1\\
& = \dfrac{3-\sqrt{5}}{2}-2\sqrt{\dfrac{3-\sqrt{5}}{8}}-1\\
& = \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}-2\sqrt{\dfrac{3-\sqrt{5}}{8}}\\
& = \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}-\sqrt{\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}}\;.
\end{aligned}$

Or,
\begin{align*}
\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^2 & =\dfrac{1-2\sqrt{5}+5}{4}\\
& = \dfrac{3-\sqrt{5}}{2}
\end{align*}

Donc,
\[
\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}=\sqrt{\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}}
\]
et donc :
\[
\boxed{4\cos^2\dfrac{\pi}{5}-2\cos\dfrac{\pi}{5}-1=0}
\]

\item De la question précédente, on déduit que $\cos\dfrac{\pi}{5}$ est solution de l'équation :\[ 4x^2-2x-1=0.\]

Le discriminant de $4x^2-2x-1$ est :
\[ \Delta=20.\]
Donc les racines sont :
\[
x_1=\dfrac{2-\sqrt{20}}{8}=\dfrac{1-\sqrt{5}}{4}\qquad\text{et}\qquad x_2=\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}.
\]
On sait que $\cos\dfrac{\pi}{5}>\cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ donc :
\[
\boxed{\cos\dfrac{\pi}{5}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}}
\]
\end{enumerate}
\end{enumerate}