
Remarquons que les angles dans les cosinus ne sont pas des valeurs remarquables, ce qui nous laisse à penser qu'il y a des transformations à faire.

On remarque que :
\[
\dfrac{5\pi}{14}=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{7}.
\]
(ce qui peut nous guider est le dénominateur \og 14 \fg{} qui s'écrit $7\times2$, donc cela nous pousse à écrire $\dfrac{5\pi}{14}$ en fonction de $\dfrac{\pi}{7}$ et $\dfrac{\pi}{2}$).

Donc :
\[\cos\left(\dfrac{5\pi}{14}\right)=\underbrace{\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{7}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{7}\right)}_{\text{car }\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin(x)}
\]
et alors :
\[
\boxed{\cos^2\left(\dfrac{5\pi}{7}\right)=\sin^2 \left(\dfrac{\pi}{7}\right)}.
\]

De même,
\[
\dfrac{9\pi}{22}=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{11},
\]
donc :
\[\cos\left(\dfrac{9\pi}{11}\right)=\underbrace{\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{11}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{11}\right)}_{\text{car }\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin(x)}
\]
et alors :
\[
\boxed{\cos^2\left(\dfrac{9\pi}{11}\right)=\sin^2 \left(\dfrac{\pi}{11}\right)}.
\]
Ainsi, 
\begin{align*}
& \cos^2\left(\dfrac{\pi}{7}\right)+\cos^2\left(\dfrac{5\pi}{14}\right)+\cos^2\left(\dfrac{\pi}{11}\right)+\cos^2\left(\dfrac{9\pi}{22}\right)\\
=\ & \underbrace{\cos^2\left(\dfrac{\pi}{7}\right)+\sin^2\left(\dfrac{\pi}{7}\right)}_{=1\text{ car }\cos^2x+\sin^2x=1}+\underbrace{\cos^2\left(\dfrac{\pi}{11}\right)+\sin^2\left(\dfrac{\pi}{11}\right)}_{=1}\\
=\ & 2.
\end{align*}