\begin{enumerate}
\item $\mathscr{C}$ a pour centre le point A\coord{-1}{2} et pour rayon 2.
\begin{align*}
\text{M}\in\mathscr{C} & \Longleftrightarrow \big(x-(-1\big)^2+(y-2)^2=2^2\\
& \Longleftrightarrow x^2+2x+1+y^2-4y+4=4\\
& \Longleftrightarrow x^2+y^2+2x-4y+1=0.
\end{align*}

\underline{Une �quation cart�sienne de $\mathscr{C}$ est donc $x^2+y^2+2x-4y+1=0$.}

\item $\mathscr{C}$ est le cercle de diam�tre [AB], o� A\coord{2}{-1} et B\coord{-2}{3}.
\begin{align*}
\text{M}\in\mathscr{C} & \Longleftrightarrow \prodscal{MA}{MB}=0\\
& \Longleftrightarrow \dbinom{x-2}{y+1}\cdot\dbinom{x+2}{y-3}=0\\
& \Longleftrightarrow (x-2)(x+2)+(y+1)(y-3)=0\\
& \Longleftrightarrow x^2-4+y^2-3y+y-3=0\\
& \Longleftrightarrow x^2+y^2-2y-3=0.
\end{align*}

\underline{Une �quation cart�sienne de $\mathscr{C}$ est donc $x^2+y^2-2y-3=0$.}

\item $\mathscr{C}$ est le cercle de centre A\coord{4}{3} tangent au cercle $\mathscr{C}^\prime$ d'�quation $(x-1)^2+(y-2)^2=1$.

$\mathscr{C}^\prime$ a pour centre le point B\coord{1}{2} d'apr�s son �quation.

$\mathscr{C}$ et $\mathscr{C}^\prime$ sont tangents donc le rayon de $\mathscr{C}$ est $r=\text{AB}-1$ (\og 1 \fg{} �tant le rayon de $\mathscr{C}^\prime$).

\[
\text{AB}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}\qquad\text{donc}\qquad r=\sqrt{10}-1.
\]
Ainsi,
\begin{align*}
\text{M}\in\mathscr{C} & \Longleftrightarrow (x-4)^2+(y-3)^2=\big(\sqrt{10}-1\big)^2\\
& \Longleftrightarrow x^2-8x+16+y^2-6y+9=10-2\sqrt{10}+1\\
& \Longleftrightarrow  x^2+y^2-8x-6y+14+2\sqrt{10}=0.
\end{align*}

\underline{Une �quation cart�sienne de $\mathscr{C}$ est donc $x^2+y^2-8x-6y+14+2\sqrt{10}=0$.}
\end{enumerate}