
\bigskip

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) node[below left] {A} -- (4,0) node[below right] {B} -- (4,4) node[above right] {C} -- (0,4) node[above left] {D} -- cycle;
\draw (2,3.9) -- (2,4.1) node[above] {I};
\draw (3.9,3) -- (4.1,3) node[right] {J};
\draw (2,4) --(0,0) -- (4,3);
\end{tikzpicture}
\end{center}

Dans le repère $\big(\text{A}~;~\vv{\text{AB}}~;~\vv{\text{AD}}\big)$, on a :
\[
\vv{\text{AI}}\dbinom{\frac{1}{2}}{1}\qquad\text{et}\qquad\vv{\text{AJ}}\dbinom{1}{\frac{3}{4}}.
\]
On a alors, d'une part :
\[
\prodscal{AI}{AJ}=xx'+yy'=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{5}{4}
\]
et d'autre part :
\[
\prodscal{AI}{AJ}=\|\vv{\text{AI}}\|\times\|\vv{\text{AJ}}\|\times\cos\big(\vv{\text{AI}}\mathpunct{};\mathpunct{}\vv{\text{AJ}}\big).
\]
Or, dans le triangle ADI rectangle en D, on a :
\[
\text{AI}^2=1^2+\dfrac{1^2}{2^2}=\dfrac{5}{4}\qquad\text{soit}\qquad\text{AI}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}
\]
et dans le triangle ABJ rectangle en B, on a :
\[
\text{AJ}^2=1^2+\dfrac{3^2}{4^2}=\dfrac{25}{4}\qquad\text{soit}\qquad\text{AJ}=\dfrac{5}{2}.
\]
Donc :
\[
\prodscal{AI}{AJ}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\times\dfrac{5}{4}\times\cos\big(\vv{\text{AI}}\mathpunct{};\mathpunct{}\vv{\text{AJ}}\big).
\]
Ainsi, on a :
\[
\cos\big(\vv{\text{AI}}\mathpunct{};\mathpunct{}\vv{\text{AJ}}\big)=\dfrac{\frac{5}{4}}{\frac{5\sqrt{5}}{16}}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}.
\]
soit:
\[
\boxed{\big(\vv{\text{AI}}\mathpunct{};\mathpunct{}\vv{\text{AJ}}\big)\approx27\degres}
\]

\paragraph*{N.B.} Pour \^etre précis, on trouve un angle de mesure $26,57\degres$, mais donner une approximation décimale pour une mesure d'angle est à mon avis une incohérence monumentale car un angle s'exprime en base sexagésimale (en base 60) et donc, les décimaux n'ont pas leur place ici (comme pour les heures). Il faudrait donc ici donner l'approximation :
\[
26\degres+0,57\times60'=26\degres34'+0,2\times60=26\degres34'12''.
\]
\newpage