\exercice[style=R,N=5]{La formule de Héron}

Soit un triangle ABC, et H le pied de la hauteur issue du sommet B. On note AB = $c$,\linebreak AC = $b$, BC = $a$ et BH = $h$.

\medskip

\begin{tikzpicture}[baseline=2cm]
\draw (0,0) node[below left] {A} -- (5,0) node[below right] {C} node[midway,below] {$b$} -- (2,3) node[above] {B} node[midway,right] {$a$} -- (0,0) node[midway,left] {$c$};
\draw (2,3) -- (2,0) node[midway,right] {$h$} node[below] {H};
\draw (2.25,0) -- (2.25,0.25) -- (2,0.25);
\draw (0.5,0) arc (0:52:0.5);
\node[scale=0.75] at (25:0.75) {$\widehat{A}$};
\end{tikzpicture}
\hfill
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\begin{enumerate}
\item Exprimer $h$ en fonction de $c$ et $\sin\widehat{A}$, puis en déduire que l'aire du triangle ABC est : $ \mathscr{A}=\dfrac{1}{2}bc\sin \widehat{A}$.

\item \`A l'aide de la formule d'Al-Kashi, exprimer $\sin^2\widehat{A}$ en fonction de $a$, $b$ et $c$.
\end{enumerate}
\end{minipage}

\begin{enumerate}[start=3]
\item En notant $p=\dfrac{a+b+c}{2}$, montrer alors que :
$\sin^2\widehat{A}=\dfrac{4p(p-a)(p-b)(p-c)}{b^2c^2}$.

\item En déduire alors que : $\mathscr{A}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.

Cette dernière formule est appelée la \textit{formule de Héron}.

\item Application : calculer l'aire d'un triangle dont les c\^otés ont pour mesure 7 cm, 12 cm et 9 cm.
\end{enumerate}
