\exercice[style=R,N=3]{Dans un rectangle}

ABCD est un rectangle tel que $\text{AB}=4$ et $\text{AD}=2$. E est le point de [DC] tel que $\text{DE}=1$. Les droites (AE) et (BD) se coupent en H et N est le milieu de [AB].

\medskip


\begin{tikzpicture}[baseline=-3em]
\draw (0,0) node[above left] {A} -- (4,0) node[above right] {B} -- (4,-2) node[below right] {C} -- (0,-2) node[below left] {D} -- cycle;
\draw[dashed] (0,-2) -- (4,0);
\draw[dashed] (0,0) -- (1,-2) node[below] {E};
\draw (2,0.1) node[above] {N} -- (2,-0.1);
\node[above] at (0.9,-1.5) {H};
\end{tikzpicture}
\hfill
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\begin{enumerate}
\item Décomposer $\vv{\text{AE}}$ et $\vv{\text{BD}}$ à l'aide de la relation de Chasles, puis calculer $\prodscal{AE}{BD}$.

Que peut-on conclure quant à (AE) et (BD) ?

\item En calculant de deux façons différentes $\prodscal{BA}{BD}$, trouver BH.
\end{enumerate}
\end{minipage}

\begin{enumerate}[start=3]
\item Montrer que $\vv{\text{HA}}+\vv{\text{HB}}=2\vv{\text{HN}}$.

\item Calculer $\text{HA}$, puis montrer que $\prodscal{HN}{HA}=\dfrac{8}{5}$.

\item Justifier que $\text{HN}=2$.

\item Calculer $\cos\angle{AHN}$ et en déduire une valeur approchée de $\angle{AHN}$ au degré près.
\end{enumerate}