\exercice[style=R,N=4]{Puissance d'un point par rapport à un cercle}

Dans le plan, on considère un point M et un cercle $\Gamma$, de centre O et de rayon $r$.

Soit $d$ une droite passant par M et coupant $\Gamma$ en deux points A et B.

On appelle \textit{puissance de M par rapport à $\Gamma$} le nombre :
\[ 
\rm\mathscr{P}_\Gamma(M)=OM^2-r^2
\]

\begin{enumerate}
\item En considérant le projeté orthogonal de O sur (AB), c'est-à-dire le point H de (AB) telle que $\rm (OH)\perp(AB)$, montrer que :
\begin{itemize}
\item si M est à l'extérieur de $\Gamma$ alors $\rm MA \times MB = \mathscr{P}_\Gamma(M)$;
\item sinon, $\rm MA \times MB = -\mathscr{P}_\Gamma(M)$
\end{itemize}

\item On considère un cercle $\Gamma^\prime$, de centre $\rm O^\prime$ distinct de O, et de  rayon $r^\prime$. Soit M un point tel que $\rm\mathscr{P}_\Gamma(M) = \mathscr{P}_{\Gamma^\prime}(M)$.

\begin{enumerate}
\item Soient K le projeté orthogonal de M sur (OO') et I le milieu de [OO'].

Après avoir justifié que $r^2-r'^2=\rm MO^2-MO'^2$, montrer que $r^2-r'^2=2\prodscal{OO'}{IK}$.

\item Déterminer alors l'ensemble des points M.

Cet ensemble est appelé l'\textit{axe radical des deux cercles}.
\end{enumerate}

\item Soit $\Gamma''$ un troisième cercle de centre O'' tel que O'' n'appartient pas à (OO').

Montrer que les trois axes radicaux sont concourants en vous aidant de la notion de puissance d'un point par rapport à un cercle.
\end{enumerate}