
\medskip

Posons $x_{n+1}=x$.

\begin{enumerate}
\item Par définition, on a :
\[
\overline{x}=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{i=n}x_i\qquad\text{donc}\qquad n\overline{x}=\displaystyle\sum_{i=1}^{i=n}x_i\;.
\]
On a alors :
\begin{align*}
m(x) & = \dfrac{1}{n+1}\displaystyle\sum_{i=1}^{i=n+1}x_i\\& = \dfrac{1}{n+1}\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{i=n}x_i+x\right)\\
& = \dfrac{1}{n+1}\left(n\overline{x}+x\right)\\
\Aboxed{m(x) & = \dfrac{x+n\overline{x}}{n+1}}
\end{align*}

\item $\begin{aligned}[t]
& m(x)=\overline{x}\\
\Longleftrightarrow & \dfrac{x+n\overline{x}}{n+1}=\overline{x}\\
\Longleftrightarrow & x+n\overline{x}=(n+1)\overline{x}\\
\Longleftrightarrow & x=\overline{x}.
\end{aligned}$

\uline{Il faut ainsi choisir d'ajouter à la série une valeur égale à la moyenne de la série pour que la moyenne de la nouvelle série soit la m\^eme que la série initiale.}

\item Par définition, d'après le théorème de K\"onig-Huygens, on a :
\[
\text{V}=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{i=n}x_i^2-\overline{x}^2\qquad\text{donc}\qquad n\text{V}=\displaystyle\sum_{i=1}^{i=n}x_i^2-n\overline{x}^2\;.
\]
On a alors :
\begin{align*}
v(x) & = \dfrac{1}{n+1}\displaystyle\sum_{i=1}^{i=n+1}x_i^2-\big[m(x)\big]^2\\
& = \dfrac{1}{n+1} \left(\textcolor{red}{\displaystyle\sum_{i=1}^{i=n}x_i^2}+x^2\right)-\left(\dfrac{x+n\overline{x}}{n+1}\right)^2\\
& = \dfrac{1}{n+1}\left(\textcolor{red}{n\text{V}+n\overline{x}^2}+x^2\right)-\dfrac{x^2+2n\overline{x}x+n^2\overline{x}^2}{(n+1)^2}\\
& = \dfrac{1}{n+1}\left(n\text{V}+n\overline{x}^2+x^2-\dfrac{x^2+2n\overline{x}x-n^2\overline{x}^2}{n+1}\right)\\
& = \dfrac{1}{n+1}\left(\dfrac{n(n+1)\text{V}+n(n+1)\overline{x}^2+(n+1)x^2-x^2-2n\overline{x}x-n^2\overline{x}^2}{n+1}\right)\\
& = \dfrac{1}{(n+1)^2}\left( nx^2-2n\overline{x}x+n(n+1)\text{V}+n\overline{x}\right)
\end{align*}

\item $v(x)$ est un polyn\^ome du second degré donc le coefficient de $x^2$ est positif. Par conséquent, l'extremum est un minimum, et il est atteint pour :
\[
x=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{2n\overline{x}}{2n}=\overline{x}.
\]

\uline{La nouvelle variance est donc minimale si on ajoute à la série une valeur égale à sa moyenne.}
\end{enumerate}