\begin{enumerate}
\item X suit la loi binomiale $\mathcal{B}\coord{6}{\dfrac{2}{3}}$. En effet, l'expérience consistant à arriver à un feu tricolore et à regarder sa couleur est une épreuve de Bernoulli dont le succès est ici S : \og le feu est vert \fg{} et dont la probabilité est égale à $\dfrac{2}{3}$ d'après l'énoncé.

\item Sans feu tricolore, le temps nécessaire pour parcourir 3 km avec une vitesse de 15 km/h est $60\div5=12$ minutes (en effet, si on fait 15 km en 60 minutes, 3 km seront faits en $\frac{1}{5}$ de 60 minutes).

\`A ces 12 minutes, il faut ajouter 1,5 minute par feu rouge ou orange. La variable aléatoire représentant le nombre de feux rouges ou oranges est ($6-\text{X}$) donc :
\[
\text{T}=12+1,5(6-\text{X})\qquad\text{soit :}\qquad\text{T}=21-1,5\text{X}.
\]
\item D'après une propriété du cours, $\exp{T}=\esp{21$-$1,5X}=21-1,5\esp{X}$.

Or, $\esp{X}=6\times\dfrac{2}{3}=4$. Ainsi, $\esp{T}=21-1,5\times4$, soit $\esp{T}=15$.

L'élève peut donc s'attendre arriver au lycée 15 minutes en moyenne après son départ.

\item On cherche \probavar[>]{T}{17}.
\begin{align*}
\probavar[>]{T}{17} & = \probavar[>]{21-1,5X}{17}\\
& = \probavar[>]{-1,5X}{17-21}\\
& = \probavar[>]{-1,5X}{-4}\\
& = \probavar[<]{X}{\dfrac{4}{1,5}}\\
& = \probavar[<]{X}{\dfrac{8}{3}}\\
& = \probavar[\leqslant]{X}{2}\quad\text{car X est un nombre entier}\\
& = \probavar{X}{0}+\probavar{X}{1}+\probavar{X}{3}\\&=\dfrac{73}{729}\approx0,1.
\end{align*}
\end{enumerate}