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\exercice[style=R,N=5]{Le jeu des petits chevaux}

Le jeu des petits chevaux nécessite un dé. Dans ce jeu, un joueur doit faire un \og 6 \fg{} pour sortir de son enclos et commencer la partie. Tans qu'il n'a pas fait de \og 6 \fg, il continue de lancer le dé (à tour de rôle avec les autres joueurs) jusqu'à ce qu'il en obtienne un.

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On note X la variable aléatoire représentant le nombre de lancers de dé jusqu'à obtention d'un \og 6 \fg.

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité pour que le joueur obtienne un \og 6 \fg{} au premier lancer. En déduire \probavar{X}{1}.

\item Déterminer la probabilité pour que le joueur obtienne un \og 6 \fg{} au second lancer. En déduire \probavar{X}{2}.

\item Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel $k$, $\probavar{X}{k}=\left(\dfrac{5}{6}\right)^{k-1}\times\dfrac{1}{6}$.

\item On pose $u_n=\probavar{X}{n}$. et $S_n=\sum\limits_{k=1}^n\probavar{X}{k}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que \suite{u}{n}{n\geqslant1} est une suite géométrique dont on déterminera le premier terme et la raison.
\item En déduire une expression simplifiée de $S_n$.
\item Montrer que $\limite{n}{+\infty}{S_n}=1$.
\end{enumerate}

\item On admet que l'espérance mathématique de X est $\esp{X}=\dfrac{1}{6}\limite{n}{+\infty}{\sum\limits_{k=1}^nk\left(\dfrac{5}{6}\right)^{k-1}}$.

On pose alors $f_k(x)=x^k$, où $k\in\N*$, et $F_n(x)=\sum\limits_{k=1}^nf_k(x)$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $f_k'(x)$, la dérivée de $f_k(x)$, en fonction de $k$.
\item En déduire que $F_n'(x)=\dfrac{1-x-(n+1)x^{n}+nx^{n+1}}{(1-x)^2}$ pour tout $x\neq1$.\\
On admettra que $\limite{n}{+\infty}{n\left(\dfrac{5}{6}\right)^n}=0$.
\item En déduire $\esp{X}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}