\documentclass[12pt]{article}
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\begin{document}
\chap[num=C,pos=right,color=purple]{Généralités sur les fonctions}{\emph{Stéphane PASQUET, \today}}

%--------------- TOC
\renewcommand{\contentsname}{\color{purple}\titreFONT\huge Sommaire}
{\color{purple}\hrulefill}
{\tocFONT\tableofcontents}
{\color{purple}\hrulefill}

\vspace*{1cm} %---------- PREREQUIS

\begin{prerequis}
\item Sens de variation d'une fonction
\item Tableau de variation d'une fonction
\end{prerequis}

\newpage %----------------- DEBUT

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Domaine de définition}]
On appelle \definmot{domaine de définition} d'une fonction $f$ l'ensemble de toutes les valeurs de $x$ telles que $f(x)$ existe.

On le note fréquemment $\mathscr{D}_f$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,pluriel]
\begin{enumerate}
\item Si $f(x)=\dfrac{1}{x}$, alors $\mathscr{D}_f$ est l'ensemble de toutes les valeurs de $x$ telles que l'on puisse calculer l'inverse de $x$, c'est-à-dire toutes les valeurs réelles sauf 0 : \[\mathscr{D}_f=\R*=\intervOO{-\infty}{0}\cup\intervOO{0}{+\infty}\;.\]

\item Si $g(x)=\dfrac{1}{x^2-9}$ alors $\mathscr{D}_g$ est l'ensemble des valeurs de $x$ telles que $x^2-9\neq0$, soient $\R$ privé des valeurs $-3$ et 3 :
\[ \mathscr{D}_g=\R\setminus\{-3~;3\}=\intervOO{-\infty}{-3}\cup\intervOO{-3}{3}\cup\intervOO{3}{+\infty}\;.\]
\end{enumerate}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={La fonction racine carrée (fonction de référence)}]
La fonction racine carrée est la fonction définie sur $\R_+$ par :
\[
x\longmapsto\sqrt x\;.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Sens de variation de la fonction racine carrée}]
La fonction racine carrée est strictement croissante sur \intervFO{0}{+\infty}.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
Soient deux nombres réels $a$ et $b$ tels que $0<a<b$. Posons $f(x)=\sqrt{x}$. Alors,
\begin{align*}
f(a)-f(b) & = \sqrt{a}-\sqrt{b}\\
& = \dfrac{\big(\sqrt{a}-\sqrt{b}\big)\big(\sqrt{a}+\sqrt{b}\big)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\\
& = \dfrac{\big(\sqrt{a}\big)^2-\big(\sqrt{b}\big)^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\\
& = \dfrac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}
\end{align*}
Or, $a<b$ donc $a-b<0$ ; de plus, $\sqrt{a}>0$ et $\sqrt{b}>0$ donc $\sqrt{a}+\sqrt{b}>0$.

Ainsi, $f(a)-f(b)<0$, soit $f(a)<f(b)$, ce qui signifie que $f$ est strictement croissante sur \intervFO{0}{+\infty} (puisque $a$ et $b$ sont pris quelconques dans cet intervalle).
\end{pasbox}

La représentation graphique de la fonction $x\longmapsto\sqrt{x}$ dans un repère orthonormé est la suivante :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex]
\draw[gray] (0,0) grid (9,3);
\draw[thick,->] (0,0) -- (10,0);
\draw[thick,->] (0,0) -- (0,4);
\draw[red] plot[domain=0:9,samples=100] (\x,{sqrt(\x)});
\node[below left] at (0,0) {O};
\foreach \x in {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
{
	\draw[thick] (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below] {\x};
}
\foreach \x in {1,2,3}
{
	\draw[thick] (0.1,\x) -- (-0.1,\x) node[left] {\x};
}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Position relative de $x\mapsto\sqrt{x}$, $x\mapsto x^2$ et $x\mapsto x$}]
Sur \intervFO{0}{+\infty}, on a :
\[
\begin{array}{l@{~~~}l}
x^2\leqslant x\leqslant\sqrt{x} & \text{sur } \intervFO{0}{1}\\
\sqrt{x}\leqslant x\leqslant x^2 & \text{sur }\intervFO{1}{+\infty}
\end{array}
\]
\end{pasbox}

Cette propriété peut-\^etre vue sur le graphique page suivante.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex]
\draw[gray] (0,0) grid (4,3);
\draw[thick,->] (0,0) -- (5,0);
\draw[thick,->] (0,0) -- (0,4);
\clip (-1,-1) rectangle (6,5);
\draw[red] plot[domain=0:4,samples=100] (\x,{sqrt(\x)}) node[right] {$\sqrt{x}$};
\draw[purple] plot[domain=0:4,samples=100] (\x,{\x}) node[right] {$x$};;
\draw[green!50!black] plot[domain=0:4,samples=100] (\x,{\x*\x});
\node[right,green!50!black] at (2.1,4) {$x^2$};
\node[below left] at (0,0) {O};
\foreach \x in {1,2,3,4}
{
	\draw[thick] (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below] {\x};
}
\foreach \x in {1,2,3}
{
	\draw[thick] (0.1,\x) -- (-0.1,\x) node[left] {\x};
}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Mais on le démontre de façon algébrique :

\medskip

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
Posons $r(x)=\sqrt{x}$, $i(x)=x$ et $c(x)=x^2$.
\begin{itemize}
\item $\begin{aligned}[t]
r(x)-i(x) & = \sqrt{x}-x\\
& = \sqrt{x}-\big(\sqrt{x}\big)^2\\
& = \sqrt{x}\big(1-\sqrt x\big).
\end{aligned}$

Or, sur \intervFO{0}{1}, $0\leqslant\sqrt x<1$ donc $-1<-\sqrt{x}\leqslant0$ ; ainsi, $1-1<1-\sqrt{x}<0+1$, soit $0<1-\sqrt{x}\leqslant1$.

On obtient de m\^eme que sur \intervFO{1}{+\infty}, $1-\sqrt x\leqslant0$.

De plus, $\sqrt{x}\geqslant0$ sur $\R_+$.
\end{itemize}

\breakbox

\begin{itemize}
\item[] Donc, $r(x)-i(x)\geqslant0$ sur \intervFO{0}{1},  soit $r(x)\geqslant i(x)$ sur \intervFO{0}{1}, et $r(x)\leqslant i(x)$ sur \intervFO{1}{+\infty}. La courbe représentative de $r$ est donc au-dessus de celle de $i$ sur \intervFO{0}{1} et au-dessous sur \intervFO{0}{+\infty}.

\bigskip

\item $\begin{aligned}[t]
c(x)-i(x) & = x^2-x\\
& = x(x-1).
\end{aligned}$

Or, , $0\leqslant x<1$ sur \intervFO{0}{1}, donc $-1\leqslant x-1<0$ sur \intervFO{0}{1}, et $x-1\geqslant0$ sur \intervFO{1}{+\infty}.

Ainsi, $x(x-1)\leqslant$ sur \intervFO{0}{1} et donc $c(x)<i(x)$ sur \intervFO{0}{1}, ce qui signifie que la courbe représentative de $c$ est au-dessus de celle de $i$, et sur \intervFO{1}{+\infty}, $c(x)\geqslant i(x)$.
\end{itemize}

Finalement, on obtient que sur \intervFO{0}{1}, $c(x)\leqslant i(x)$ et $i(x)\leqslant r(x)$, donc $c(x)\leqslant i(x)\leqslant r(x)$, et sur \intervFO{1}{+\infty}, $r(x) \leqslant i(x) \leqslant c(x)$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={La fonction valeur absolue (fonction de référence)}]
La fonction valeur absolue est la fonction définie sur \R{} par :
\[
x\longmapsto\vert x\vert=\left\{\begin{array}{l@{~~~}l}
x & \text{si }x\geqslant0\\
-x & \text{si }x<0
\end{array}\right.
\]
\end{pasbox}

Posons $f(x)=|x|$. 

Si $x\geqslant0$, alors $f(x)=x$ donc la représentation graphique de $f$ dans un repère (O~;I~;J) est celle de la fonction affine $x\longmapsto x$ sur \intervFO{0}{+\infty}, c'est-à-dire la demi-droite d'origine O et faisant un angle de 45$\degres$ avec la demi-droite [O~;I).

\medskip

Si $x<0$, alors $f(x)=-x$ donc la représentation graphique de $f$ dans un repère (O~;I~;J) est celle de la fonction affine $x\longmapsto -x$ sur \intervFO{-\infty}{0}, c'est-à-dire la demi-droite d'origine O et faisant un angle de 135$\degres$ avec la demi-droite [O~;I).

\medskip

On obtient alors :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex]
\draw[gray] (-6,0) grid (6,6);
\draw[thick,->] (-7,0) -- (7,0);
\draw[thick,->] (0,0) -- (0,7);
\draw[red] plot[domain=-6:6,samples=100] (\x,{abs(\x)});
\node[below] at (0,0) {O};
\foreach \x in {-6,-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6}
{
	\draw[thick] (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below] {\x};
}
\foreach \x in {1,2,3,4,5,6}
{
	\draw[thick] (0.1,\x) -- (-0.1,\x) node[left] {\x};
}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Sens de variation de $u(x)+k$}]
Soit $u$ une fonction définie sur un ensemble $\mathscr{D}_u$.

Alors, la fonction définie par $x \longmapsto u(x)+k$ a le m\^eme sens de variation que la fonction $x \longmapsto u(x)$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
Posons $f(x)=u(x)+k$. Alors, pour $a$ et $b$ dans un intervalle de $\mathscr{D}_u$ tels que $a<b$ :
\begin{align*}
f(a)-f(b) & = u(a)+k-(u(b)+k)\\
& = u(a)+k-u(b)-k\\
& = u(a)-u(b)
\end{align*}

Ainsi, le signe de $f(a)-f(b)$ est le m\^eme que celui de $u(a)-u(b)$, ce qui signifie que les variations de $f$ sont les m\^emes que celles de $u$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem]
Ajouter une constante $k$ à $u(x)$ revient à décaler verticalement de $k$ unités la courbe représentative de $u$.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex]
\draw[thick,->] (-4,0) -- (4,0);
\draw[thick,->] (0,-5) -- (0,7);
\draw[red] plot[domain=-3:3,samples=100] (\x,{0.05*\x*\x*\x+\x-1}) node[right] {$u$};
\node[below left] at (0,0) {O};
\draw[blue] plot[domain=-3:3,samples=100] (\x,{0.05*\x*\x*\x+\x+2}) node[right] {$u+k$};
\draw[->] (2,{0.05*8+2-1}) -- (2,{0.05*8+2+2}) node[midway,right] {$+k$};
\draw[->] (-2,{0.05*(-8)-2-1}) -- (-2,{-0.05*8-2+2}) node[midway,right] {$+k$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,pluriel]
\begin{enumerate}
\item La fonction $x\longmapsto x^2-5$ a le m\^eme sens de variation que la fonction carré.
\item La fonction $x\longmapsto \dfrac{1}{x}+2$ a le m\^eme sens de variation que la fonction inverse.
\item La fonction $x\longmapsto\sqrt x-1$ a le m\^eme sens de variation que la fonction racine carrée.
\end{enumerate}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Sens de variation de $u(x+k)$}]
Soit $u$ une fonction définie sur un ensemble $\mathscr{D}_u$. La fonction définie par $x\longmapsto u(x+k)$ a le m\^eme sens de variation que la fonction $u$ sur $\mathscr{D}_u$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
Posons $f(x)=u(x+k)$ et considérons $a$ et $b$ deux nombres d'un intervalle de $\mathscr{D}_u$ tels que $a<b$ et tels que $a+k$ et $b+k$ soient dans le m\^eme intervalle. Alors,
\begin{align*}
f(a)-f(b) & = u(a+k)-u(b+k)\\
& = u(A)-u(B)\qquad\text{en posant $A=a+k$ et $B=b+k$}
\end{align*}

Or, $A<B$ donc $u(A)-u(B)$ a le m\^eme signe que $u(a)-u(b)$. 

Par conséquent, $f(a)-f(b)$ et $u(a)-u(b)$ ont le m\^eme signe, ce qui signifie que $f$ et $u$ ont le m\^eme sens de variation.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem]
La courbe représentative de $x\longmapsto u(x+k)$ est obtenue à partir de celle de $u$ en la décalant horizontalement de $-k$ unités.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex,scale=0.8]
\draw[thick,->] (-4,0) -- (4,0);
\draw[thick,->] (0,-5) -- (0,4);
\clip (-3,-5) rectangle (6,5);
\draw[red] plot[domain=-3:3,samples=100] (\x,{0.05*\x*\x*\x+\x-1});
\node[right,red] at (3,3.5) {$u$};
\node[below left] at (0,0) {O};
\draw[blue] plot[domain=-3:3.5,samples=100] (\x,{0.05*(\x-2)*(\x-2)*(\x-2)+(\x-2)-1}) node[above right] {$u(x-2)$};
\draw[->] (-0.5,{0.05*(-0.5)*(-0.5)*(-0.5)-0.5-1}) -- (1.5,{0.05*(-0.5)*(-0.5)*(-0.5)-0.5-1}) node[midway,above] {$+2$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,pluriel]
\begin{enumerate}
\item La fonction $x\longmapsto (x-2)^2$ a le m\^eme sens de variation que la fonction carré.
\item La fonction $x\longmapsto\dfrac{1}{x+3}$ a le m\^eme sens de variation que la fonction inverse.
\item La fonction $x\longmapsto\sqrt{x-7}$ a le m\^eme sens de variation que la fonction racine carrée.
\end{enumerate}
\end{pasbox}

\begin{attention}
M\^eme si $x\mapsto u(x+k)$ a le m\^eme sens de variation que $u$, ce n'est pas sur le m\^eme ensemble comme le montre l'exemple suivant :

\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1,espcl=2]{$x$/0.5,$x^2$/1}{$-\infty$,0,$+\infty$}
\tkzTabVar{+/,-/,+/}
\end{tikzpicture}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=2]{$x$/0.5,$(x+5)^2$/1}{$-\infty$,$-5$,$+\infty$}
\tkzTabVar{+/,-/,+/}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{multicols}
\end{attention}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Sens de variation de $ku$}]
Soit $u$ une fonction définie sur un ensemble $\mathscr{D}_u$. 

Si $k>0$, la fonction définie par $x\longmapsto ku(x)$ a le m\^eme sens de variation que la fonction $u$ sur $\mathscr{D}_u$.

Si $k<0$, la fonction définie par $x\longmapsto ku(x)$ a le sens de variation opposé de celui de la fonction $u$ sur $\mathscr{D}_u$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
Posons $f(x)=ku(x)$ et considérons $a$ et $b$ sur un intervalle de $\mathscr{D}_u$ tels que $a<b$. Alors,
\begin{align*}
f(a)-f(b) & = ku(a)-ku(b)\\
& = k\big(u(a)-u(b)\big).
\end{align*}

Ainsi, si $k>0$, $f(a)-f(b)$ et $u(a)-u(b)$ ont le m\^eme signe, ce qui signifie que $f$ et $u$ ont le m\^eme sens de variation.

Si $k<0$, alors $f(a)-f(b)$ a le signe opposé de $u(a)-u(b)$ donc $f$ et $u$ ont un sens de variation opposé.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,pluriel]
\begin{enumerate}
\item La fonction $x\longmapsto -2x^2$ a un sens de variation opposé de celui de la fonction carré.
\item La fonction $x\longmapsto\dfrac{-6}{x}$ a un sens de variation opposé de celui de la fonction inverse.
\item La fonction $x\longmapsto3\sqrt{x}$ a le m\^eme sens de variation que la fonction racine carrée.
\end{enumerate}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Sens de variation de $\sqrt{u}$}]
Soit $u$ une fonction définie positive sur un ensemble $\mathscr{D}_u$. Alors, $\sqrt{u}$ est une fonction dont le sens de variation est le m\^eme que $u$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
Posons $f(x)=\sqrt{u(x)}$ et considérons $a$ et $b$ sur un intervalle de $\mathscr{D}_u$ tels que $a<b$. Alors,
\begin{align*}
f(a)-f(b) & = \sqrt{u(a)}-\sqrt{u(b)}\\
& = \dfrac{\left(\sqrt{u(a)}-\sqrt{u(b)}\right)\left(\sqrt{u(a)}+\sqrt{u(b)}\right)}{\left(\sqrt{u(a)}+\sqrt{u(b)}\right)}\\
& = \dfrac{u(a)-u(b)}{\sqrt{u(a)}+\sqrt{u(b)}}
\end{align*}

Or, $\sqrt{u(a)}+\sqrt{u(b)}>0$ donc $f(a)-f(b)$ est du m\^eme signe que $u(a)-u(b)$, ce qui signifie que $f$ et $u$ ont le m\^eme sens de variation.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Sens de variation de $\sqrt{u}$}]
Soit $u$ une fonction définie sur un ensemble $\mathscr{D}_u$ telle que $u(x)\neq0$. Alors, $\dfrac{1}{u}$ est une fonction dont le sens de variation est le contraire de celui de $u$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
Posons $f(x)=\dfrac{1}{u(x)}$ et considérons $a$ et $b$ sur un intervalle de $\mathscr{D}_u$ tels que $a<b$, avec $u(a)$ et $u(b)$ de m\^eme signe (on considère $a$ et $b$ sur un intervalle où la fonction $u$ est soit au-dessus de l'axe des abscisses, soit en-dessous). Alors,
\begin{align*}
f(a)-f(b) & = \dfrac{1}{u(a)}-\dfrac{1}{u(b)}\\
& = \dfrac{u(b)-u(a)}{u(a)u(b)}
\end{align*}

Or, $u(a)u(b)>0$ (car $u(a)$ et $u(b)$ sont du m\^eme signe) donc $f(a)-f(b)$ est du signe opposé de $u(a)-u(b)$, ce qui signifie que $f$ et $u$ ont un sens de variation contraire.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,pluriel]
\begin{enumerate}
\item La fonction $x\longmapsto\dfrac{1}{x-2}$ est décroissante sur \intervOO{2}{+\infty} car la fonction $x\longmapsto x-2$ est croissante sur \intervOO{2}{+\infty}.
\end{enumerate}
\breakbox
\begin{enumerate}[start=2]
\item La fonction $x\longmapsto\sqrt{x-2}$ est croissante sur \intervFO{2}{+\infty} car $x\longmapsto x-2$ est croissante sur \intervFO{2}{+\infty}.
\end{enumerate}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=meth]
Quand on a la chance d'avoir uen fonction dont l'expression ne fait intervenir $x$ qu'à un seul endroit, on peut très souvent trouver son sens de variation en la \og décomposant \fg{} en fonction de référence.

Par exemple, si $f(x)=\dfrac{-2}{x^2+1}$, on pourra écrire :

\[
x\overset{u}{\longmapsto}x^2\overset{v}{\longmapsto}x^2+1\overset{w}{\longmapsto}\sqrt{x^2+1}\overset{t}{\longmapsto}\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}\overset{s}{\longmapsto}\dfrac{-2}{x^2+1}
\]

\begin{itemize}
\item $u$ est la fonction carré ; donc elle est croissante sur \intervFO{0}{+\infty} et décroissante sur \intervOF{-\infty}{0} ;

\item $v$ est une fonction affine ($v(x)=x+1$) donc de la forme $v=u+k$, donc on ne change pas le sens de variation de $u$. $x\longmapsto x^2+1$ est alors croissante sur \intervFO{0}{+\infty} et décroissante sur \intervOF{-\infty}{0} ;

\item $w$ est la fonction racine carrée donc de la forme $w=\sqrt{v}$) ; par conséquent, on ne change pas le sens de variation. $x\longmapsto\sqrt{x^2+1}$ est alors croissante sur \intervFO{0}{+\infty} et décroissante sur \intervOF{-\infty}{0} ;

\item $t$ est la fonction inverse donc on change le sens de variation. $x\longmapsto\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ est alors décroissante sur \intervFO{0}{+\infty} et croissante sur \intervOF{-\infty}{0} ;

\item $s$ est une fonction de la forme $s=kt$, avec $k=-2<0$ donc on change le sens de variation. $f\;:\;x\longmapsto\dfrac{-2}{\sqrt{x^2+1}}$ est alors croissante sur \intervFO{0}{+\infty} et décroissante sur \intervOF{-\infty}{0}.
\end{itemize}
\end{pasbox}

\subsection*{Ce qui suis est hors programme mais souvent traité par les enseignants}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Fonction paire, fonction impaire}]
On dit qu'une fonction $f$ est \definmot{paire} si :
\begin{itemize}
\item son domaine de définition $\mathscr{D}_f$ est centré en 0 ;
\item pour tout $x$ dans $\mathscr{D}_f$, $f(-x)=f(x)$.
\end{itemize}

\medskip

On dit qu'une fonction $f$ est \definmot{impaire} si :
\begin{itemize}
\item son domaine de définition $\mathscr{D}_f$ est centré en 0 ;
\item pour tout $x$ dans $\mathscr{D}_f$, $f(-x)=-f(x)$.
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,pluriel]
\begin{enumerate}
\item $f(x)=\sqrt{x^2+1}$.\\
Son domaine de définition est \R, donc centré en 0.

De plus, $f(-x)=\sqrt{(-x)^2+1}=\sqrt{x^2+1}=f(x)$. 

Donc $f$ est paire.

\item $f(x)=x\sqrt{x^2+1}$.\\
Son domaine de définition est \R, donc centré en 0.

De plus, $f(-x)=(-x)\sqrt{(-x)^2+1}=-x\sqrt{x^2+1}=-f(x)$. 

Donc $f$ est impaire.
\end{enumerate}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem]
Si une fonction est paire, alors sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (comme la fonction carré).

Si une fonction est impaire, alors sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine du repère (comme la fonction inverse ou la fonction cube).
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Symétrie}]
Soit $f$ une fonction.

\begin{itemize}
\item S'il existe un réel $a$ tel que :
\[
f(a+h)=f(a-h)
\]
pour tout réel $h$ tel que $a+h\in\mathscr{D}_f$ et $a-h\in\mathscr{D}_f$, alors la représentation graphique de $f$ est symétrique par rapport à la droite d'équation $y=a$.

\item S'il existe un couple de réels \coord{a}{b} tel que :
\[
\dfrac{f(a+h)+f(a-h)}{2}=b
\] pour tout réel $h$ tel que $a+h\in\mathscr{D}_f$ et $a-h\in\mathscr{D}_f$, alors la représentation graphique de $f$ est symétrique par rapport au point $\Omega\coord{a}{b}$.
\end{itemize}
\end{pasbox}
\end{document}	