\documentclass[12pt]{article}
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%
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\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{document}
\chap[num=C,pos=right,color=purple]{Dans un repère}{\emph{Stéphane PASQUET, \today}}

%%%%%%%%% Repère

\newcommand{\rep}[4]{%
\draw[->,>=latex] (#1,0) -- (#2,0);
\draw[->,>=latex] (0,#3) -- (0,#4);
\draw[thick,red,->,>=latex] (0,0) -- (1,0) node[midway,below] {$\vv{\imath}$};
\draw[thick,red,->,>=latex] (0,0) -- (0,1) node[midway,left] {$\vv{\jmath}$};
\node[red,below left] at (0,0) {O};
}


%--------------- TOC
\renewcommand{\contentsname}{\color{purple}\titreFONT\huge Sommaire}
{\color{purple}\hrulefill}
{\tocFONT\tableofcontents}
{\color{purple}\hrulefill}

\vspace*{1cm} %---------- PREREQUIS

\begin{prerequis}
\item Fonctions affines
\item \'Equation réduite d'une droite dans un repère
\item Vecteurs (notions vues en Seconde)
\end{prerequis}

\newpage %----------------- DEBUT


\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Repère orthonormé (rappel)}]
Un \definmot{repère orthonormé} est la donnée de deux droites perpendiculaires en un point O sur lesquelles se trouvent deux vecteurs de m\^eme norme et d'origine O. Ces vecteurs sont appelés \definmot{vecteurs unitaires}.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\rep{-5}{5}{-3}{3}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Ce repère est nommé \Rij.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Coordonnées d'un vecteur dans un repère orthonormé (rappel)}]
Soit $\vv{u}$ un vecteur dans un repère \Rij.

L'abscisse $x$ et l'ordonnée $y$ de $\vv{u}$ sont les nombres tels que l'on ait :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\rep{-5}{5}{-3}{3}
\draw[->,>=latex] (1.5,-0.5) -- (4,2) node[midway,above,rotate=30] {$\vv{u}$};
\draw[dashed,->,>=latex,green!50!black] (1.5,-0.5) -- (4,-0.5) node[midway,below] {$x\vv{\imath}$};
\draw[dashed,->,>=latex,blue!50!black] (4,-0.5) -- (4,2) node[midway,right] {$y\vv{\jmath}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

On note alors $\vv{u}\dbinom{x}{y}$ les coordonnées du vecteur $\vv{u}$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[gray,dashed] (-5,-3) grid (5,3);
\rep{-5}{5}{-3}{3}
\draw[blue!50!black,thick,>=latex,->] (-4,-2) -- (2,3) node[midway,above]{$\vv{u}$};
\draw[very thick,->,dashed,>=latex] (-4,-2) -- (2,-2) node[midway,below] {$+6\vv{\imath}$};
\draw[very thick,->,dashed,>=latex] (2,-2) -- (2,3) node[midway,right] {$+5\vv{\jmath}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Ici, $\vv{u}\dbinom{6}{5}$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Colinéarité de deux vecteurs}]
Soient $\vv{u}\dbinom{x}{y}$ et $\vv{v}\dbinom{x'}{y'}$ deux vecteurs dans un repère \Rij.
\begin{center}
$\vv{u}$ et $\vv{v}$ sont colinéaires $\Longleftrightarrow  xy'-x'y=0$.\end{center}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
Supposons que $x'\neq0$ et $y'\neq0$.
\begin{align*}
\vv{u}\dbinom{x}{y}\text{ et }\vv{v}\dbinom{x'}{y'}\text{ colinéaires} & \Longleftrightarrow \exists\ k\in\R,\ \vv{u}=k\vv{v}\\
& \Longleftrightarrow \exists\ k\in\R,\ \left\{\begin{array}{l}x=kx'\\y=ky'\end{array} \right.\\
& \Longleftrightarrow \exists\ k\in\R,\ \left\{\begin{array}{l}\dfrac{x}{x'}=k\\[10pt]\dfrac{y}{y'}=k\end{array} \right.\\
& \Longleftrightarrow \dfrac{x}{x'}=\dfrac{y}{y'}\\
& \Longleftrightarrow xy'=x'y\\
& \Longleftrightarrow xy'-x'y=0.
\end{align*}
\breakbox
Supposons maintenant que $x'=0$.
\begin{align*}
\vv{u}\dbinom{x}{y}\text{ et }\vv{v}\dbinom{0}{y'}\text{ colinéaires} & \Longleftrightarrow \exists\ k\in\R,\ \vv{u}=k\vv{v}\\
& \Longleftrightarrow \exists\ k\in\R,\ x=0\text{ et }y=ky'\\
& \Longleftrightarrow xy'=0=x'y\\
& \Longleftrightarrow xy'-x'y=0.
\end{align*}
Un raisonnement analogue pourrait \^etre envisagé pour $y'=0$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,pluriel]
\begin{enumerate}
\item $\vv{u}\dbinom{-1}{2}$ et $\vv{v}\dbinom{4}{-8}$ sont colinéaires car $-1\times(-8)-2\times4=8-8=0$.

\item $\vv{u}\dbinom{3}{-5}$ et $\vv{v}\dbinom{1}{7}$ ne sont pas colinéaires car $3\times7-(-5)\times1=21+5=26\neq0$.
\end{enumerate}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Vecteur directeur d'une droite}]
On appelle \definmot{vecteur directeur d'une droite} tout vecteur ayant la m\^eme direction que la droite.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\rep{-5}{5}{-3}{3}
\clip (-5,-3) rectangle (5,3);
\draw[blue!50!black] plot[domain=-5:5] (\x,{0.5*\x-1}) node[below left] {$d$};
\draw[red!50!black,thick,->,>=latex] plot[domain=-3:-1] (\x,{0.5*\x-1});
\node[red!50!black] at (-2,-2.5) {$\vv{u}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
Ici, le vecteur $\vv{u}$ est un vecteur directeur de $d$, mais tout vecteur colinéaire à $\vv{u}$ est aussi un vecteur directeur de $d$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={\'Equation cartésienne d'une droite}]
Dans un repère orthonormé \Rij, une \definmot{équation cartésienne d'une droite} est une équation de la forme :
\[ ax+by+c=0.\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=meth,name={Obtenir une équation cartésienne connaissant deux points}]
Soient A\coord{-1}{2} et B\coord{5}{-6}.

Considérons un point M\coord{x}{y} quelconque sur la droite (AB). Alors,
\begin{align*}
 & \vv{AB}\dbinom{5-(-1)}{-6-2}=\dbinom{6}{-8}\text{ et }\vv{AM}\dbinom{x-(-1)}{y-2}=\dbinom{x+1}{y-2}\text{ sont colinéaires }\\
\Longleftrightarrow\ & 6(y-2)-(-8)(x+1)=0\\
\Longleftrightarrow\ & 8x+6y-12+8=0\\
\Longleftrightarrow\ & 8x+6y-4=0\\
\Longleftrightarrow\ & 4x+3y-2=0\quad\text{(en divisant tout par 2)}.
\end{align*}

Une équation cartésienne de la droite (AB) est donc :
\[
(\text{AB})\;:\;4x+3y-2=0.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=meth,name={Obtenir une équation cartésienne connaissant un vecteur directeur et un point}]
Soit $d$ une droite de vecteur directeur $\vv{u}\dbinom{4}{-3}$ passant par le point A\coord{-5}{4}.

Considérons un point M\coord{x}{y} quelconque sur $d$. Alors,
\begin{align*}
 & \vv{u}\dbinom{4}{-3}\text{ et }\vv{\text{AM}}\dbinom{x+5}{y-4}\text{ sont colinéaires }\\
\Longleftrightarrow\ & 4(y-4)-(-3)(x+5)=0\\
\Longleftrightarrow\ & 3x+4y-16+15=0\\
\Longleftrightarrow\ & 3x+4y-1=0.
\end{align*}

Une équation cartésienne de la droite $d$ est donc :
\[
d\;:\;3x+4y-1=0.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop]
Un vecteur directeur de la droite d'équation $ax+by+c=0$ est le vecteur $\vv{u}\dbinom{-b}{a}$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
\begin{align*}
ax+by+c=0 & \Longleftrightarrow by=-ax-c\\
& \Longleftrightarrow
\left\{
\begin{array}{ll}
y = -\dfrac{a}{b}x-\dfrac{c}{b}\qquad&\text{si }b\neq0\\[10pt]
x=-\dfrac{c}{a}&\text{si }b=0
\end{array}
\right.
\end{align*}

Ainsi, on voit que si $b=0$, la droite est verticale, donc a pour vecteur directeur tout vecteur de la forme $\vv{u}\dbinom{0}{k}$, $k\in\R$.

Si $b\neq0$, la droite a pour équation réduite $y=mx+p$, avec $m=-\dfrac{a}{b}$ et $p=-\dfrac{c}{b}$, donc a pour vecteur directeur $\vv{v}\dbinom{1}{m}$. En effet, par définition du coefficient directeur $m$, si l'on se trouve sur la droite $d$ et si l'on avance parallèlement à l'axe des abscisses d'une unité, on montera (ou descendra si $m<0$) de $m$ unités parallèlement à l'axe des ordonnées. Donc $\vv{v}\dbinom{1}{m}$ est bien un vecteur directeur de $d$, soit $\vv{v}\dbinom{1}{-\frac{a}{b}}$, aussi bien que tout vecteur colinéaire à $\vv{v}$, en particulier le vecteur $\vv{u}=-b\vv{v}$ qui a pour coordonnées $\dbinom{-b}{a}$.
\end{pasbox}

\begin{attention}[0.5]
Ne confondez pas \emph{coefficient directeur} et \emph{vecteur directeur}.

Le premier est un nombre (c'est la \og pente \fg{} de la droite) et le second est un vecteur ...
\end{attention}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
La droite d'équation cartésienne :
\[ 3x-4y+7=0\]
a pour vecteur directeur $\vv{u}\dbinom{4}{3}$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Droites parallèles et coefficients directeurs}]
Soient $d_1$ et $d_2$ deux droites de vecteurs directeurs respectifs $\vv{u_1}$ et $\vv{u_2}$.
\begin{center}
$d_1$ et $d_2$ sont parallèles $\Longleftrightarrow$ $\vv{u_1}$ et $\vv{u_2}$ sont colinéaires.
\end{center}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
$d_1$ : $2x-5y+7=0$ a pour vecteur directeur $\vv{u_1}\dbinom{5}{2}$.

$d_2$ : $-6x+15x+1=0$ a pour vecteur directeur $\vv{u_2}\dbinom{-15}{-6}=-3\vv{u_1}$.

$\vv{u_1}$ et $\vv{u_2}$ sont alors colinéaires ; par conséquent, $d_1$ et $d_2$ sont parallèles.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem]
Jusqu'à présent, nous nous sommes situés dans un repère orthonormé, mais tout ce qui a été vu précédemment dans ce chapitre est valable dans tous les repères.

Nous allons d'ailleurs nous servir de cette remarque dans certains exercices.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=meth,name={Rapporter une figure à un repère}]
Une figure de géométrie euclidienne où se trouve un triangle, un carré, un rectangle, etc. peut \^etre rapportée à un repère dont les axes sont deux des c\^otés du triangle, carré, rectangle, ... Voyons un exemple :

\medskip

\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) node[below left] {A} -- (5,0) node[below right] {B} -- (5,3) node[above right] {C} -- (0,3) node[above left] {D} -- cycle;
\draw[dotted] (0,3) -- (5,0);
\fill ($0.7*(0,3)+0.3*(5,0)$) circle (1pt) node[above] (M) {M};
\draw[dashed] (0,0) -- ($0.7*(0,3)+0.3*(5,0)$) node[midway,rotate=45] {/} -- (3,0) node[below] {N} node[midway] {/};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
ABCD est un rectangle tel que $\text{AD}=3$ et $\text{AB}=5$.

Soit M un point de [BD] ; on construit alors le point N sur [AB] tel que AMN soit isocèle en M.

\medskip

Existe-t-il une position de M telle que AMN soit équilatéral ?
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item\textbf{\'Etape 1 : on rapporte la figure à un repère.}

Nous allons, par exemple, considérer le repère $\big(\text{A}~;\frac{1}{5}\vv{\text{AB}}~,\frac{1}{3}\vv{\text{AD}}\big)$.

\medskip

\item \textbf{\'Etape 2 : on donne les coordonnées des points qui nous sont nécessaires.}

A\coord{0}{0} ; B\coord{5}{0} ; D\coord{0}{3}.

\medskip

\item \textbf{\'Etape 3 : on commence à raisonner.}

\begin{itemize}
\item On commence par trouver une équation de (BD) pour exprimer les coordonnées de M, puis de N.
\begin{align*}
\text{M}\coord{x}{y}\in(\text{BD}) & \Longleftrightarrow \vv{\text{DM}}\dbinom{x}{y-3}\text{ et }\vv{\text{DB}}\dbinom{5}{-3}\text{ sont colinéaires}\\
& \Longleftrightarrow -3x-5(y-3)=0\\
& \Longleftrightarrow -3x-5y+15=0\\
& \Longleftrightarrow y=-\dfrac{3}{5}x+3.
\end{align*}

Ainsi, M\coord{x}{-\frac{3}{5}x+3} pour $x\in\intervFF{0}{5}$.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\breakbox
\begin{enumerate}[start=4]
\item[]
\begin{itemize}
\item[] AMN est isocèle en M donc l'abscisse de N est le double de $x$ : N\coord{2x}{0}. Cela sous-entend que $x\in\intervFF{0}{\dfrac{5}{2}}$.

\item On met en équation notre problème.

AMN est équilatéral donc AM = AN. On peut alors dire que AM$^2$ = AN$^2$.

\medskip

\begin{multicols}{2}
$\begin{aligned}[t]
\text{AM}^2 & = x^2+\left(3-\frac{3}{5}x\right)^2\\
& = x^2+9-\frac{18}{5}x+\frac{9}{25}x^2\\
& = \frac{34}{25}x^2-\frac{18}{5}x+9.
\end{aligned}$

\columnbreak

$\begin{aligned}[t]
\text{AN}^2 & = (2x)^2\\
& = 4x^2.
\end{aligned}$
\end{multicols}

Ainsi,
\begin{align*}
\text{AM}^2=\text{AN}^2 & \Longleftrightarrow  \frac{34}{25}x^2-\frac{18}{5}x+9=4x^2\\[6pt]
& \Longleftrightarrow \frac{66}{25}x^2+\frac{18}{5}x-9=0\\[6pt]
& \Longleftrightarrow 66x^2+90x-225=0 \quad(\text{en multipliant par 25})\\
& \Longleftrightarrow 22x^2+30x-75=0\quad(\text{en divisant par 3}).
\end{align*}

Le discriminant du polyn\^ome $22x^2+30x-75$ est :
\[ \Delta=\numprint{900}-4\times22\times(-75)=\numprint{7500}.\]
Il a donc deux racines :

\begin{multicols}{2}
$\begin{aligned}[t]
\alpha & = \dfrac{-30-\sqrt{\numprint{7500}}}{44}\\
& = \dfrac{-30-50\sqrt{3}}{44}\\
& = \dfrac{-15-25\sqrt{3}}{22}<0
\end{aligned}$

\columnbreak

$\begin{aligned}[t]
\beta & = \dfrac{-30+\sqrt{\numprint{7500}}}{44}\\
& = \dfrac{-30+50\sqrt{3}}{44}\\
& = \dfrac{-15+25\sqrt{3}}{22}\approx1,3
\end{aligned}$
\end{multicols}
\end{itemize}

\item \textbf{\'Etape 4 : on conclut.}

La condition sur $x$, à savoir $x\in\intervFF{0}{\dfrac{5}{2}}$, n'est pas remplie par $\alpha$ mais l'est par $\beta$. Par conséquent, il existe une position de M telle que AMN soit équilatéral. Dans ce cas, $y=-\dfrac{3}{5}\beta+3=-\dfrac{3}{5}\times\dfrac{-15+25\sqrt{3}}{22}+3=\dfrac{9-15\sqrt{3}}{22}+3=\dfrac{75-15\sqrt{3}}{22}$.

\medskip

Ainsi, M\coord{\dfrac{-15+25\sqrt{3}}{22}}{\dfrac{75-15\sqrt{3}}{22}}.
\end{enumerate}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem]
Dans la méthode précédente, nous nous sommes rapportés à un repère orthonormé car il était question de distances (et dans ce cas, les formules de Seconde que nous connaissons sont valables uniquement dans un tel repère).

Mais s'il est question d'alignement (par exemple), ou d'autre chose qui ne fait pas intervenir de distances, le fait de se placer dans un repère quelconque suffit.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
\begin{minipage}{4.5cm}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) node[below left] {A} -- (3,0) node[below right] {B} -- (60:3) node[above] {C} -- cycle;
\fill ($0.5*(3,0)+0.5*(60:3)$) circle (1pt) node[above right] {I};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-4.5cm}
ABC est un triangle équilatéral. I est le milieu de [BC].

Dans le repère $\big(\text{A}~;\vv{\text{AB}}~,\vv{\text{AC}}\big)$, on a :
\[ \vv{\text{AI}}=\frac{1}{2}\vv{\text{AB}}+\frac{1}{2}\vv{\text{AC}}.\]

Donc I\coord{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{2}}.
\end{minipage}
\end{pasbox}
\end{document}