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%
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\begin{document}
\chap[num=C,pos=right,color=purple]{Trigonométrie}{\emph{Stéphane PASQUET, \today}}

%%%%%%%%% Repère

\newcommand{\trigo}{%
\draw[->,>=latex] (-1.5,0) -- (1.5,0) node[below] {$\cos$};
\draw[->,>=latex] (0,-1.5) -- (0,1.5) node[right] {$\sin$};
\draw (0,0) circle (1cm);
\node[below right] at (1,0) {A};
\node[below left] at (0,0) {O};
}


%--------------- TOC
\renewcommand{\contentsname}{\color{purple}\titreFONT\huge Sommaire}
{\color{purple}\hrulefill}
{\tocFONT\tableofcontents}
{\color{purple}\hrulefill}

\vspace*{1cm} %---------- PREREQUIS

\begin{prerequis}
\item Trigonométrie de Troisième et de Seconde
\end{prerequis}

\newpage %----------------- DEBUT


\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Cercle trigonométrique}]
Soit un repère orthonormé \Rij.

Le \definmot{cercle trigonométrique} est le cercle de centre O et de rayon 1.

L'axe des abscisses est alors appelé l'axe des cosinus et l'axe des ordonnées, l'axe des sinus.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={abscisse curviligne}]
Dans un repère orthonormé \Rij, on considère un point M sur le cercle trigonométrique.

L'\definmot{abscisse curviligne} $\alpha$ de M est la longueur de l'arc $\wideparen{\text{AM}}$, où A\coord{1}{0}. On la note entre parenthèses à c\^oté du point.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\trigo
\draw[very thick,red] (1,0) arc (0:35:1cm);
\fill[red] (35:1) circle (0.5pt) node[above right] {M ($\alpha$)};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem]
Cette abscisse curviligne sera donc un nombre compris entre 0 et $2\pi$.

En effet, le rayon du cercle étant égal à 1, le périmètre du cercle trigonométrique est $2\pi$ donc l'arc $\wideparen{\text{AM}}$ aura une longueur inférieure à $2\pi$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Mesure d'angle en radians}]
Dans un repère orthonormé \Rij, on considère un point M sur le cercle trigonométrique.

La mesure de l'angle \angle{AOM} exprimée en radians est égale à la longueur de l'arc $\wideparen{\text{AM}}$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Considérons le point M sur le cercle trigonométrique tel que $\angle{AOM}=60\degres$, et notons $x$ la mesure de \angle{AOM} en radians.

Pour $360\degres$ (un tour complet), l'arc mesure le périmètre du cercle trigonométrique, soit $2\pi$. Donc, pour $60\degres$ (soit le sixième de $360\degres$), l'arc mesure le sixième de $2\pi$, soit $\dfrac{2\pi}{6}=\dfrac{\pi}{3}$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={\'Equivalences entre degrés et radians}]
\begin{center}
\arrayrulecolor{red!50!black}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{red!50!black}\color{white}}Sl|*7{Sc|}}
\hline
Angles en degrés & 0 & 30 & 45 & 60 & 90 & 180 & 360\\
\hline
Angles en radians & 0 & $\dfrac{\pi}{6}$ & $\dfrac{\pi}{4}$ & $\dfrac{\pi}{3}$ & $\dfrac{\pi}{2}$ & $\pi$ & $2\pi$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Sens trigonométrique}]
Le \definmot{sens trigonométrique} est le sens inverse des aiguilles d'une montre. Il donne le signe d'un angle en radians.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,pluriel]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\trigo
%
\fill[red] (45:1) circle (1pt) node[above right] {M$\left(\frac{\pi}{4}\right)$};
\draw[dashed,red] (0,0) -- (45:1);
\draw[->,>=latex,red] (0.2,0) arc(0:45:0.2cm);
\node[red,right,scale=0.75] at (27:0.2cm) {$\frac{\pi}{4}$};
%
\fill[purple] (-60:1) circle (1pt) node[below right] {N$\left(-\frac{\pi}{3}\right)$};
\draw[dashed,purple] (0,0) -- (-60:1);
\draw[->,>=latex,purple] (0.4,0) arc(0:-60:0.4cm);
\node[purple,right,scale=0.75] at (-30:0.4cm) {$-\frac{\pi}{3}$};
%
\draw[->,>=latex] (30:1.8) arc(30:60:1.8cm);
\node at (45:2) {$+$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Mesure principale d'un angle}]
La \definmot{mesure principale} d'un angle est la mesure de cet angle qui est comprise dans l'intervalle \intervOF{-\pi}{\pi}.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=meth,name={Trouver la mesure principale d'un angle}]
\begin{itemize}
\item {\color{brown}\textbf{Cas n° 1}.}

Sur le cercle trigonométrique, considérons un point M d'abscisse curviligne $\dfrac{\numprint{2014}\pi}{17}$. 

Quelle est la mesure principale de l'angle \angle{AOM} ?

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{On effectue la division euclidienne de \numprint{2014} par 17.}

\[
\numprint{2014}=118\times17+8.
\]
\end{enumerate}
\end{itemize}
\breakbox
\begin{itemize}
\item[]
\begin{enumerate}[start=2]
\item \textbf{On réécrit la mesure de l'angle.}

\begin{align*}
\dfrac{\numprint{2014}\pi}{17} & = \dfrac{(118\times17+8)\pi}{17}\\
& = \dfrac{(118\times17)\pi}{17}+\dfrac{8\pi}{17}\pi\\
& = 118\pi+\dfrac{8\pi}{17}\qquad\textcolor{red}{\longleftarrow118\text{ est pair}}\\
& = 59\times2\pi+\dfrac{8\pi}{17}\;.
\end{align*}


Cette dernière écriture signifie qu'en partant de A, on effectue 59 tours complets puis on ajoute $\dfrac{8\pi}{17}$ pour arriver au point M.

\medskip

\underline{Ainsi, la mesure principale de l'angle \angle{AOM} est $\dfrac{8\pi}{17}$.}
\end{enumerate}

\item {\color{brown}\textbf{Cas n° 2}.}

Sur le cercle trigonométrique, considérons un point M d'abscisse curviligne $\dfrac{\numprint{2027}\pi}{17}$. 

Quelle est la mesure principale de l'angle \angle{AOM} ?

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{On effectue la division euclidienne de \numprint{2027} par 17.}

\[
\numprint{2027}=119\times17+4.
\]

\item \textbf{On réécrit la mesure de l'angle.}

\begin{align*}
\dfrac{\numprint{2027}\pi}{17} & = \dfrac{(119\times17+4)\pi}{17}\\
& = \dfrac{(119\times17)\pi}{17}+\dfrac{4\pi}{17}\pi\\
& = 119\pi+\dfrac{4\pi}{17}\qquad\textcolor{red}{\longleftarrow119\text{ est impair}}\\
& = (120-1)\pi+\dfrac{4\pi}{17}\\
& = 120\pi+\left(\dfrac{4\pi}{17}-\pi\right)\\
& = 60\times2\pi-\dfrac{13\pi}{17}\;.
\end{align*}


Cette dernière écriture signifie qu'en partant de A, on effectue 60 tours complets puis on ajoute $-\dfrac{13\pi}{17}$ pour arriver au point M.

\medskip

\underline{Ainsi, la mesure principale de l'angle \angle{AOM} est $-\dfrac{13\pi}{17}$.}
\end{enumerate}
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Sinus et cosinus d'un angle},pluriel]
Soit un point M($\alpha$) sur le cercle trigonométrique.

Le \definmot{sinus} de $\alpha$, noté $\sin\alpha$, est l'ordonnée du point M et le \definmot{cosinus} de $\alpha$, noté $\cos\alpha$, est son abscisse.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Valeurs remarquables de sinus et cosinus}]
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{red!50!black}\color{white}\bfseries}Sl|*5{Sc|}}
\hline
Mesures d'angles (en radians) & 0 & $\dfrac{\pi}{6}$ & $\dfrac{\pi}{4}$ & $\dfrac{\pi}{3}$ & $\dfrac{\pi}{2}$ \\\hline
Cosinus & 1 & $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ & $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ & $\dfrac{1}{2}$ & 0 \\\hline
Sinus & 0 & $\dfrac{1}{2}$ & $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ & $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ & 1 \\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{pasbox}

\begin{center}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{tikzpicture}[scale=1.75]
\trigo
\draw (0,0) -- (30:1) node[right] {M$\left(\frac{\pi}{6}\right)$};
\draw[dotted] (30:1) -- ({sqrt(3)/2},0) node[below,scale=0.75] {$\frac{\sqrt{3}}{2}$};
\draw[dotted] (30:1) -- (0,{1/2}) node[left,scale=0.75] {$\frac{1}{2}$};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
%
\begin{minipage}{6cm}
\begin{tikzpicture}[scale=1.75]
\trigo
\draw (0,0) -- (45:1) node[right] {M$\left(\frac{\pi}{4}\right)$};
\draw[dotted] (45:1) -- ({sqrt(2)/2},0) node[below,scale=0.75] {$\frac{\sqrt{2}}{2}$};
\draw[dotted] (45:1) -- (0,{sqrt(2)/2}) node[left,scale=0.75] {$\frac{\sqrt{2}}{2}$};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
%
\begin{minipage}{5cm}
\begin{tikzpicture}[scale=1.75]
\trigo
\draw (0,0) -- (60:1) node[right] {M$\left(\frac{\pi}{3}\right)$};
\draw[dotted] (60:1) -- ({1/2},0) node[below,scale=0.75] {$\frac{1}{2}$};
\draw[dotted] (60:1) -- (0,{sqrt(3)/2}) node[left,scale=0.75] {\raisebox{-1.5em}{$\frac{\sqrt{3}}{2}$}};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\end{center}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={\'Equations $\cos x=\cos a$ et $\sin x=\sin a$}]
\[\cos x=\cos a \Longleftrightarrow 
\left(
\begin{array}{l} 
x=a+2k\pi\\
\kern-0.7em\text{ou}\\
x=-a+2k\pi
\end{array}
\right.\quad,\quad k\in\Z\;.\]

\[\sin x=\sin a \Longleftrightarrow 
\left(
\begin{array}{l} 
x=a+2k\pi\\
\kern-0.7em\text{ou}\\
x=\pi-a+2k\pi
\end{array}
\right.\quad,\quad k\in\Z\;.\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,pluriel]
\begin{enumerate}
\item Soit à résoudre l'équation : $\sin x=\dfrac{1}{2}$.
\vspace*{-1.5em}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\trigo
\draw[dashed,green!50!black] (-1.5,0.5) -- (1.5,0.5);
\node[green!50!black,below left] at (0,0.5) {$\frac{1}{2}$};
\draw[purple] (0,0) -- (30:1);
\draw[purple,<-,>=latex] ($0.5*(30:1)$) to[bend right=20] (1.5,0.8) node[right] {1\iere{} possibilité};
\draw[purple,->,>=latex] (0.3,0) arc(0:30:0.3);
\node[purple,right,scale=0.75] at (22:0.3) {$\frac{\pi}{6}$};
\draw[blue!50!black] (0,0) -- (150:1);
\draw[blue!50!black,<-,>=latex] ($0.5*(150:1)$) to[bend right=30] (-1.5,0.8) node[left] {2\up{nde} possibilité};
\draw[blue!50!black,->,>=latex] (-0.3,0) arc(180:150:0.3);
\node[blue!50!black,left,scale=0.75] at (158:0.3) {$\pi-\frac{\pi}{6}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\vspace*{-2em}
\begin{align*}
\sin x=\dfrac{1}{2} & \Longleftrightarrow \sin x=\sin\frac{\pi}{6}\\
& \Longleftrightarrow \left(
\begin{array}{l} 
x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\\
\kern-0.7em\text{ou}\\
x=\pi-\frac{\pi}{6}+2k\pi
\end{array}
\right.\quad,\quad k\in\Z\;\\
& \Longleftrightarrow
\left(
\begin{array}{l} 
x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\\
\kern-0.7em\text{ou}\\
x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi
\end{array}
\right.\quad,\quad k\in\Z\;.
\end{align*}
Donc, $\mathscr{S}=\left\{\dfrac{\pi}{6}+2k\pi~;\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi~,~k\in\Z\right\}$.

\item Soit à résoudre l'équation $\cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\trigo
\draw[dashed,green!50!black] ({sqrt(2)/2},-1.5) -- ({sqrt(2)/2},1.5);
\node[scale=0.75,green!50!black,below right] at ({sqrt(2)/2},0) {$\frac{\sqrt{2}}{2}$};
\draw[purple] (0,0) -- (45:1);
\draw[<-,>=latex,purple] ($0.5*(45:1)$) to[bend right=20] (1.5,0.8) node[right] {1\iere{} possibilité};
\draw[->,>=latex,purple] (0.3,0) arc(0:45:0.3);
\node[purple,right,scale=0.75] at (22:0.3) {$\frac{\pi}{4}$};
\draw[blue!50!black] (0,0) -- (-45:1);
\draw[blue!50!black,<-,>=latex] ($0.5*(-45:1)$) to[bend left=20] (1.5,-0.8) node[right] {2\up{nde} possibilité};
\draw[->,>=latex,blue!50!black] (0.3,0) arc(0:-45:0.3);
\node[blue!50!black,right,scale=0.75] at (-22:0.3) {$-\frac{\pi}{4}$};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\begin{align*}
\cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2} & \Longleftrightarrow \cos x=\cos\dfrac{\pi}{4}\\
& \Longleftrightarrow \begin{array}{l}
\left(
\begin{array}{l} 
x=\frac{\pi}{4}+2k\pi\\
\kern-0.7em\text{ou}\\
x=-\frac{\pi}{4}+2k\pi
\end{array}
\right.
\\ \\
\text{avec }k\in\Z
\end{array}
\end{align*}
\end{minipage}

Donc, $\mathscr{S}=\left\{\dfrac{\pi}{4}+2k\pi~;-\dfrac{\pi}{4}+2k\pi~,~k\in\Z\right\}$.
\end{enumerate}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Aire d'un triangle}]
Soit ABC un triangle quelconque.\\
En notant $a=\text{BC}$, $b=\text{AC}$ et $c=\text{AB}$, l'aire $\mathscr{A}$ de ABC vérifie :
\[
\mathscr{A}=\dfrac{1}{2}bc\sin\widehat{\text{A}}=\dfrac{1}{2}ab\sin\widehat{\text{C}}=\dfrac{1}{2}ac\sin\widehat{\text{B}}\;.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
\begin{minipage}{6cm}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) node[below left] {A} -- (5,0) node[below right] {B} -- (2,3) node[above] {C} -- cycle;
\draw[dashed] (2,3) -- (2,0) node[below] {H};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-6.2cm}
On note H le pied de la hauteur issue de C.\\
Dans AHC rectangle en H, on a :
\[ 
\sin\widehat{\text{A}}=\dfrac{\text{CH}}{\text{AC}}\;.
\]
Donc,
\begin{align*}
\mathscr{A} & = \dfrac{\text{CH}\times\text{AB}}{2}\\
& = \dfrac{1}{2}\text{AC}\times\sin\widehat{\text{A}}\times\text{AB}\\
& = \dfrac{1}{2}bc\sin\widehat{\text{A}}\;.
\end{align*}
\end{minipage}

Une démonstration analogue peut \^etre faite pour les autres égalités.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Formule des sinus}]
Soit ABC un triangle quelconque.\\
En notant $a=\text{BC}$, $b=\text{AC}$ et $c=\text{AB}$, on a :
\[
\dfrac{a}{\sin\widehat{\text{A}}}=\dfrac{b}{\sin\widehat{\text{B}}}=\dfrac{c}{\sin\widehat{\text{C}}}\;.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
De la propriété précédente, on sait que :
\[
\mathscr{A}=\dfrac{1}{2}bc\sin\widehat{\text{A}}=\dfrac{1}{2}ab\sin\widehat{\text{C}}=\dfrac{1}{2}ac\sin\widehat{\text{B}}\;.
\]
En multipliant ces égalités par $\dfrac{2}{abc}$, on obtient :
\[
\dfrac{2\mathscr{A}}{abc}=\dfrac{\sin\widehat{\text{A}}}{a}=\dfrac{\sin\widehat{\text{B}}}{b}=\dfrac{\sin\widehat{\text{C}}}{c}\;.
\]
En prenant les inverses, on a les égalités de la propriété.
\end{pasbox}
\end{document}