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%
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\begin{document}
\chap[num=C,pos=right,color=purple]{Généralités sur les probabilités}{\emph{Stéphane PASQUET, \today}}


%--------------- TOC
\renewcommand{\contentsname}{\color{purple}\titreFONT\huge Sommaire}
{\color{purple}\hrulefill}
{\tocFONT\tableofcontents}
{\color{purple}\hrulefill}

\vspace*{1cm} %---------- PREREQUIS

\begin{prerequis}
\item Notions de probabilités de Seconde
\end{prerequis}

\newpage %----------------- DEBUT

\begin{pasbox}[degrade,style=act,name={Activité d'introduction}]
Considérons une expérience aléatoire qui consiste à lancer deux dés cubiques non pipés (non truqués) et regardons la somme des faces obtenues. Voici les différentes possibilités que nous avons :

\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering\arraybackslash\columncolor{orange!20}}m{21mm}|*6{Sc|}}
\hline\rowcolor{orange!20}
\diagbox[width=25mm,height=9mm]{Dé 1}{Dé 2} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\\hline
2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\\hline
3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9\\\hline
4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\\hline
5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11\\\hline
6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

Notons X l'ensemble des sommes possibles. Alors,
\[
\text{X}=\{2~;3~;4~;5~;6~;7~;8~;9~;10~;11~;12\}.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Variable aléatoire}]
X est appelée la \definmot{variable aléatoire} représentant à la somme obtenue.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=act,title={Activité (suite)}]
Construisons maintenant un tableau qui permet de voir les probabilités des différentes valeurs possibles pour X :

\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{orange!20}}Sr|*{11}{Sc|}}
\hline
X & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12\\
\hline
$\proba X$ & $\dfrac{1}{36}$ & $\dfrac{1}{18}$ & $\dfrac{1}{12}$ & $\dfrac{1}{9}$ & $\dfrac{5}{36}$ & $\dfrac{1}{6}$ & $\dfrac{5}{36}$ & $\dfrac{1}{9}$ & $\dfrac{1}{12}$ & $\dfrac{1}{18}$ & $\dfrac{1}{36}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{itemize}
\item Dans le tableau donnant les différentes issues possibles, on voit que la somme \og 2 \fg{} appara\^it une fois sur les 36 (en tout) ; par conséquent, $\probavar{X}{2}=\dfrac{1}{36}$. Il en est de m\^eme pour $\text{X}=12$.
\item La somme \og 3 \fg{} appara\^i deux fois sur les 36 (en tout) ; donc $\probavar{X}{3}=\dfrac{2}{36}=\dfrac{1}{18}$. Il en est de m\^eme pour $\text{X}=11$.
\item La somme \og 4 \fg{} appara\^it trois fois donc $\probavar{X}{4}=\dfrac{3}{36}=\dfrac{1}{12}$. Il en est de m\^eme pour $\text{X}=10$.
\item La somme \og 5 \fg{} appara\^it quatre fois donc $\probavar{X}{5}=\dfrac{4}{36}=\dfrac{1}{9}$. Il en est de m\^eme pour $\text{X}=9$.
\item La somme \og 6 \fg{} appara\^it cinq fois donc $\probavar{X}{6}=\dfrac{5}{36}$. Il en est de m\^eme pour $\text{X}=8$.
\item La somme \og 7 \fg{} appara\^it six fois donc $\probavar{X}{7}=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}$.
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Loi de probabilité}]
La donnée du tableau de probabilités précédent est la \definmot{loi de probabilité} de la variable aléatoire X.\\
Si $\text{X}=\big\{x_i\big\}_{1\leqslant i\leqslant n}$, alors la loi de probabilité de X est la donnée de \probavar{X}{x_i} pour $1\leqslant i\leqslant n$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Espérance d'une variable aléatoire discrète}]
Soit $\text{X}=\big\{x_i\big\}_{1\leqslant i\leqslant n}$ une variable aléatoire discrète.

On appelle \definmot{espérance mathématique de X} le nombre défini par :
\[
\esp X=\sum_{i=1}^n x_i\times \probavar{X}{x_i}\;.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Reprenons l'activité précédente et la loi de probabilité de X. Alors,
\begin{align*}
\esp X & = 2\times\dfrac{1}{36}+3\times\dfrac{1}{18}+4\times\dfrac{1}{12}+\cdots+11\times\dfrac{1}{18}+12\times\dfrac{1}{36}\\[8pt]
\Aboxed{\esp X & = 7}
\end{align*}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem]
Le calcul de l'espérance mathématique ressemble à celui de la moyenne d'une série statistique.\\
En effet, l'espérance peut \^etre considérée comme la \og valeur moyenne \fg{} de la variable aléatoire si on répète l'expérience un grand nombre de fois.\\
Par exemple ici, si on lance \numprint{10000} fois les deux dès, on peut espérer avoir une somme égale à \og 7 \fg{} un grand nombre de fois.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Linéarité de l'espérance}]
Soit X une variable aléatoire discrète. Soient $a$ et $b$ deux réels. Alors,
\[
\esp{$a$X+$b$}=a\esp X + b\;.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
Par définition, $a\text{X}+b=\big\{ ax_i+b \big\}_{1\leqslant i\leqslant n}$. Alors,
\begin{align*}
\esp{$a$X+$b$} & = \sum_{i=1}^n \big(ax_i+b\big)\times\probavar{\textit{a}X+\textit{b}}{ax_i+b}\\
&= \sum_{i=1}^n \big(ax_i+b\big)\times\probavar{X}{x_i}\\
& = \sum_{i=1}^n ax_i\times \probavar{X}{x_i} + \sum_{i=1}^n b\probavar{X}{x_i}\\
& = a\underbrace{\sum_{i=1}^n x_i\times \probavar{X}{x_i}}_{=\esp X} + b\underbrace{\sum_{i=1}^n \probavar{X}{x_i}}_{=1}\\
& = a\esp X+b\;.
\end{align*}

\vspace*{-2em}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,pluriel,name={Variance \& écart-type}]
Soit $\text{X}=\big\{x_i\big\}_{1\leqslant i\leqslant n}$ une variable aléatoire discrète.

On appelle \definmot{variance mathématique de X} le nombre défini par :
\[
\var X=\esp{\big(X$-$\esp X\big)$^2$}=\sum_{i=1}^n \big[ x_i - \esp X \big]^2\times \probavar{X}{x_i}\;.
\]
On appelle \definmot{écart-type de X} le nombre défini par :
\[
\ectype X=\sqrt{\var X}\;.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=thm,name={Théorème de König-Huygens}]
Soit $\text{X}=\big\{x_i\big\}_{1\leqslant i\leqslant n}$ une variable aléatoire discrète. Alors,
\[ 
\var X = \esp{X$^2$}-\big[\esp X\big]^2\;.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
\vspace*{-1em}
\begin{align*}
\var X & = \esp{\big(X$-$\esp X\big)$^2$}\quad\text{(par définition)}\\
& = \esp{X$^2$}-\esp{2X\esp X}+\esp{\big(\esp X\big)$^2$}\\
& = \esp{X$^2$}-2\big[\esp X\big]^2+\big[\esp X\big]^2\\
& = \esp{X$^2$}-\big[\esp X\big]^2\;.
\end{align*}

\vspace*{-2em}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop]
Soit $\text{X}=\big\{x_i\big\}_{1\leqslant i\leqslant n}$ une variable aléatoire discrète. Alors,
\[
\var{$a$X}=a^2\var X\;.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
\vspace*{-1em}
\begin{align*}
\var{$a$X}&=\esp{($a$X)$^2$}-\big[ \esp{$a$X} \big]^2\\
& = a^2\esp{X$^2$}-a^2\big[\esp X\big]^2\\
& = a^2\big[ \esp{X$^2$}-(\esp X)^2 \big]\\
& = a^2\var X\;.
\end{align*}

\vspace*{-2em}
\end{pasbox}
\end{document}