\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{pas-math}
\usepackage[margin=1.5cm,bmargin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{eurosym}
\usepackage{tikz}
\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{document}
\paragraph{Exercice 1 (fonctions)}
On considère la fonction $f$ définie par :
\[
f(x)=\dfrac{3x^2-9}{x+2}.
\]
\begin{enumerate}
\item Quel est le domaine de définition de $f$ ?
\item Calculer $f'(x)$.
\item Déterminer le signe de $f'(x)$, puis les variations de $f$.
\end{enumerate}


\paragraph{Exercice 2 (suites)} On considère la suite $(u_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par :
\[
u_{n+1}=u_n^2+u_n+1.
\]
\begin{enumerate}
\item Quel est le sens de variation de $(u_n)$ ?
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n>0$.
\end{enumerate}

\paragraph{Exercice 3 (géométrie)} On se place dans un repère orthonormé dont l'unité graphique est le cm$^2$.

\smallskip

On considère alors les points $A\coord{-7}{2}$, $B\coord{-6}{-5}$ et $C(\coord{2}{-1}$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer une équation cartésienne de la droite $(BC)$.
\item Déterminer une équation cartésienne de la droite perpendiculaire à $(BC)$ passant par $A$. On notera cette droite $(\Delta)$.
\end{enumerate}

On admet que la droite perpendiculaire à $(AC)$ passant par $B$ a pour équation $3x-y+13=0$.

\begin{enumerate}[start=3]
\item Déterminer les coordonnées de l'orthocentre $H$ du triangle $ABC$.
\item On note $E$ l'intersection de $(BC)$ et de $(\Delta)$. On admet que $E\coord{-4}{-4}$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $AE$.
\item Calculer $BC$.
\item Déterminer l'aire du triangle $ABC$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

On définit le point $F$ par :
\[
\vv{EF}=\dfrac{1}{2}\vv{CA}.
\]

\begin{enumerate}[start=5]
\item Les points $C$, $H$ et $F$ sont-ils alignés ?
\end{enumerate}

\paragraph{Exercice 4 (probabilités)} Un jeu consiste à choisir au hasard une boule dans une urne opaque. Sur chaque boule de cette urne, une somme est inscrite : c'est le gain que le joueur obtient.

Il y a :
\begin{itemize}
\item 7 boules portant la somme de 0 \euro.
\item 5 boules portant la somme de 2 \euro.
\item $n$ boules portant la somme de 10 \euro, où $n$ est un entier naturel non nul.
\end{itemize}

Chaque partie coûte 1 \euro{} au joueur.

On note $G$ la variable aléatoire représentant le \textit{gain algébrique} à l'issue d'une partie.

\begin{enumerate}
\item Déterminer, en fonction de $n$, la loi de probabilité de $G$.
\item Montrer alors que le jeu est toujours profitable au joueur si ce dernier effectue un grand nombre de parties.
\end{enumerate}

\newpage

\paragraph{Exercice 5 (recherche)} Soit $k$ un nombre réel quelconque.

On considère la fonction $f_k\;:\; x\mapsto x^2-2kx+k^2+k+1$ ainsi que le sommet $S_k$ de la parabole représentative de $f_k$.

\medskip

Montrer que tous les $S_k$ appartiennent à une même droite.

\medskip

\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-8cm}
\paragraph{Exercice 6 (recherche)} On considère les fonctions $f$ et $g$ définies par :
\[
f(x)=\sqrt{x}\qquad\text{et}\qquad g(x)=x^3-3x+2x+2.
\]
Pour tout $x\geqslant0$, on note $P\coord{x}{f(x)}$ et $M\coord{x}{g(x)}$.

\medskip

Pour quelle valeur de $x$ la distance $PM$ est-elle minimale ?
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{7cm}
\begin{tikzpicture}[>=latex,xscale=2]
\draw[->] (-0.5,0) -- (3,0);
\draw[->] (0,-0.5) -- (0,4);
\clip (-0.5,-0.5) rectangle (3,4);
\draw[thick,red] plot[domain=0:3,samples=100] (\x,{\x*\x*\x-3*\x*\x+2*\x+2});
\draw[thick,blue] plot[domain=0:3,samples=100] (\x,{sqrt(\x)}) node[below left] {$f$};
\draw[dotted] (1.5,0) node[below] {$x$} -- (1.5,4);
\fill[blue] (1.5,{sqrt(1.5)}) circle (1pt) node[below right,scale=0.7] {$P$};
\fill[red] (1.5,{1.5*1.5*1.5-3*1.5*1.5+3+2}) circle (1pt) node[above right,scale=0.7] {$M$};
\node[below left] at (0,0) {$O$};
\node[red] at (2.7,3.8) {$g$};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}

\paragraph{Exercice 7 (algorithmique)} On considère la suite \suite{u}{n}{} suivante :
\[
\begin{cases}
u_0=2\\
u_{n+1}=\dfrac{1}{2^n} u_n + 2n+1
\end{cases}
\]
\begin{enumerate}
\item Compléter l'algorithme suivant afin qu'il affiche tous les termes de cette suite jusqu'à $u_{100}$.

\begin{center}
\fbox{
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
$u$ prend la valeur \ldots\\
Pour $n$ allant de \ldots{} à \ldots
\begin{quote}
$u$ prend la valeur \ldots\\
Afficher $u$
\end{quote}
Fin du Pour
\end{minipage}
}
\end{center}

\item À l'aide de la calculatrice, Jean remarque que :
\[
u_{50}=101,\ u_{51}=103,\ u_{52}=105,\ u_{53}=107,\ldots
\]
Il conjecture alors que :
\[
\forall n\geqslant50,\qquad u_n=2n+1.
\]
\begin{enumerate}
\item Cette formule donne-t-elle les nombres observés ?
\item Si cette formule était correcte, quelle serait la nature de la suite \suite{u}{n}{}?
\item Que peut-on conclure quant à la formule de Jean pour la suite \suite{u}{n}{}?
\item Comment expliquer ce phénomène ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}