
Posons $y=ax^2+bx+c$ l'équation de $\mathscr{P}$. Alors :

\begin{itemize}
\item  $A\coord{-1}{1}\in\mathscr{P}\Leftrightarrow 1 = a(-1)^2+b(-1)+c\Leftrightarrow a-b+c=1$.

\item  $B\coord{1}{-2}\in\mathscr{P}\Leftrightarrow -2= a\times 1^2+b\times 1 + c\Leftrightarrow a+b+c=-2$.

\item  $C\coord{4}{2}\in\mathscr{P}\Leftrightarrow 2=a\times 4^2+b\times 4+c\Leftrightarrow 16a+4b+c=2$.
\end{itemize}

On doit donc résoudre le système suivant :
\[
\left\lbrace
\begin{array}{ll}
a-b+c=1 & (1)\\
a+b+c=-2 & (2)\\
16a+4b+c=2 & (3)
\end{array}
\right.
\]
En faisant $(2)-(1)$, on obtient $2b=-3$, soit $b=-\dfrac{3}{2}$. Ainsi, le système est équivalent à (en remplaçant $b$ par $-\dfrac{3}{2}$) :
\[
\left\lbrace
\begin{array}{ll}
a+c=-\dfrac{1}{2} & (1)\\
16a+c=8 & (2)
\end{array}
\right.
\]
En faisant $(2)-(1)$, on obtient : $15a=\dfrac{17}{2}$, soit $a=\dfrac{17}{30}$.

Ainsi, de l'équation $(2)$, on a : $c=8-16a=8-16\times\dfrac{17}{30}=-\dfrac{32}{30}=-\dfrac{16}{15}$. Ainsi :
\[
\pmb{\mathscr{P}\: :\: y=\frac{17}{30}x^2-\frac{3}{2}x-\frac{16}{15}}.
\]
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