\begin{enumerate}
\item $C(0)$ représente le co\^ut de fabrication pour 0 objet, c'est-à-dire les charges fixes.

\item $C$ est un polyn\^ome de degré 2 dont le coefficient du terme de degré 2 est négatif, donc son maximum est atteint pour $q=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{5}{2\times(-0,5)}=5$.

\uline{Les co\^uts de fabrication sont maximaux pour 500 objets fabriqués.}

On a : $C(5)=-0,5\times5^2+5\times5+300=312,5$.

\uline{Ainsi, le c\^out de fabrication maximum est \numprint{312,5} \euro.}

\item Les recettes de l'entreprise sont données par la fonction $R$ définie par :
\[
R(q)=20q.
\]

\item Le bénéfice quotidien est donné par la fonction $B$ définie par :
\begin{align*}
B(q) & =R(q)-C(q)\\
B(q) & =0,5q^2+15q-300.
\end{align*}

Le discriminant de $B$ est :
\begin{align*}
\Delta & =15^2-4\times0,5\times(-300)\\
& = \numprint{825}.
\end{align*}

$B$ a donc deux racines :
\[
q_1=\dfrac{-15-\sqrt{\numprint{825}}}{2\times0,5}<0
\]
et
\[
q_2=\dfrac{-15+\sqrt{\numprint{825}}}{2\times0,5}\approx13,723\in\intervFF{0}{25}.
\]

\uline{Ainsi, le bénéfice sera quasiment nul pour \numprint{1372} objets fabriqués et vendus\\ quotidiennement.}

\item Le sommet de la parabole représentative de $B$ est atteint pour :
\[
q=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{15}{2\times0,5}=-15.
\]
Ainsi, sur \intervFF{0}{25}, la fonction $B$ est croissante et son maximum est atteint pour $q=25$. 

\begin{align*}
B(25) & = 0,5\times25^2+15\times25-300\\
& = 387,50.
\end{align*}

\uline{Le bénéfice quotidien maximal est alors 387,50 \euro}.
\end{enumerate}
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