\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
P(2) & = -2\times2^3-2^2+13\times2-6\\
& = -2\times8-4+26-6\\
& = -16-4+26-6\\
& = -20+20\\
&=0.
\end{aligned} $

\underline{Ainsi, $P(2)=0$, donc $\alpha=2$ est une racine de $P(x)$.}

\item Si $\alpha$ est une racine de $P(x)$, alors $P(x)=(x-\alpha)Q(x)$, où $Q$ est un polynôme de degré inférieur à 1 à celui de $P$ (donc ici, le degré de $Q$ est égal à $3-1=2$ ; c'est donc un polynôme de degré 2).

\medskip

Posons alors $P(x)=(x-2)(ax^2+bx+c)$ et développons cette expression :
\begin{align*}
(x-2)(ax^2+bx+c) & = ax^3+bx^2+cx-2ax^2-2bx-2c\\
								 & = ax^3+(b-2a)x^2+(c-2b)x-2c.
\end{align*}
On sait que pour tout réel $x$ :
\[
-2x^3-x^2+13x-6=ax^3+(b-2a)x^2+(c-2b)x-2c\;,
\]
donc :
\[
\begin{cases}
-2 & = a\\
-1 & = b-2a\\
13 & = c-2b\\
-6 & -2c
\end{cases}
\qquad
\text{(les coefficients de chaque $x^n$ doivent être égaux)}
\]
On en déduit que $a=-2$ et $c=\dfrac{-6}{-2}=3$ d'après la première et dernière équation.

La deuxième équation nous donne alors : 
\[
-1=b-2a \iff -1=b-2\times(-2) \iff -1=b+4\iff b=-1-4=-5.
\]
\underline{Ainsi, $P(x)=(x-2)(-2x^2-5x+3)$.}

\item Le discriminant du polynôme $-2x^2-5x+3$ est :
\[
\Delta=(-5)^2-4\times(-2)\times3=49=7^2\?;,
\]
donc il admet deux racines distinctes :
\[
x_1=\dfrac{-(-5)-7}{2\times(-2)}=\dfrac{-2}{-4}=\dfrac{1}{2}
\]
et
\[
x_2=\dfrac{-(-5)+7}{2\times(-2)}=\dfrac{12}{-4}=-3.
\]
L'ensemble solution de l'équation $P(x)=0$ est donc :
\[
\boxed{\mathscr{S}=\left\{2~;~-3~;~\dfrac{1}{2}\right\}}
\]
\end{enumerate}
\newpage