\begin{enumerate}
\item ${\cal C}_f$ et ${\cal C}_g$ se coupent s'il existe au moins un $x$ tel que $f(x)=g(x)$.
\begin{align*}
f(x)=g(x) & \iff -\dfrac{1}{2}x^2+3x+2=2x^2-4x-1\\
					& \iff -\dfrac{1}{2}x^2-2x^2+3x+4x+2+1=0\\
					& \iff -\dfrac{5}{2}x^2+7x+3=0.
\end{align*}

\item Le discriminant du polynôme $-\dfrac{5}{2}x^2+7x+3$ est :
\[
\Delta=7^2-4\times\left(-\dfrac{5}{2}\right)\times3=49+30=79>0\;,
\]
donc l'équation $-\dfrac{5}{2}x^2+7x+3=0$ admet deux solutions distinctes, ce qui signifie  que ${\cal C}_f$ et ${\cal C}_g$ se coupent en deux points distincts d'abscisses respectives $x_1$ et $x_2$.

\item On a :
\[
x_1=\dfrac{-7-\sqrt{79}}{2\times\left(-\dfrac{5}{2}\right)}=\dfrac{7+\sqrt{79}}{5}
\]
et 
\[
x_2=\dfrac{-7+\sqrt{79}}{2\times\left(-\dfrac{5}{2}\right)}=\dfrac{7-\sqrt{79}}{5}.
\]
$x_1$ correspond à l'abscisse d'un point $M_1$ dont l'ordonnée est égale à $f(x_1)$ (ou $g(x_1)$, c'est pareil !).
\[
g(x_1)=2x_1^2-4x_1-1=\dfrac{8\sqrt{79}+91}{25}\text{ (après calculs)}.
\]
$x_2$ est l'abscisse d'un point $M_2$ dont l'ordonnée est $g(x_2)$ :
\[
g(x_2)=2x_2^2-4x_2-1=\dfrac{-8\sqrt{79}+91}{25}\text{ (après calculs)}.
\]
Les deux points d'intersection de ${\cal C}_f$ et ${\cal C}_g$ sont alors :
\[
\boxed{M_1\coord{\dfrac{7+\sqrt{79}}{5}}{\dfrac{8\sqrt{79}+91}{25}}\qquad\text{et}\qquad M_2\coord{\dfrac{7-\sqrt{79}}{5}}{\dfrac{-8\sqrt{79}+91}{25}}}
\]
\end{enumerate}
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