\begin{enumerate}
\item $P(1)=10\times1^3+9\times1^2-13\times1-6=19-19=0$.

Donc $1$ est bien une racine de $P$ (car son image est égale à 0).

\item
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
 & (x-1)(ax^2+bx+c)\\
=\ & ax^3+bx^2+cx-ax^2-bx-c & \text{(on utilise la distributivité)}\\
=\ & ax^3+bx^2-ax^2+cx-bx-c & \text{(on regroupe les termes de même degré)}\\
=\ & ax^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c & \text{(on regroupe les coefficients)}
\end{aligned}$

\item On doit donc avoir pour tout réel x : 
\[ P(x)=10x^3+9x^2-13x-6=ax^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c\]
soit :
\[
\begin{cases}
10&=a\\
9&=b-a\\
-13&=c-b\\
-6&=-c
\end{cases}
\]
On en déduit donc que $a=10$ (première équation) et $c=6$ (dernière équation).

Ainsi, de la deuxième équation, on peut écrire $9=b-10$, soit $b=9+10=19$.

\medskip

\uline{Finalement, $P(x)=(x-1)(10x^2+19x+6)$.}
\end{enumerate}

\item Le discriminant du polynôme $10x^2+19x+6$ est :
\[
\Delta=19^2-4\times10\times6=121=11^2
\]
donc il admet deux racines distinctes :
\[
x_1=\dfrac{-19-11}{2\times10}=-\dfrac{3}{2}
\]
et
\[
x_2=\dfrac{-19+11}{20}=-\dfrac{2}{5}.
\]
Ainsi, $10x^2+19x+6=\left(x+\dfrac{3}{2}\right)\left(x+\dfrac{2}{5}\right)=(2x+3)(5x+2)$.

\medskip

\uline{Finalement, $P(x)=(x-1)(2x+3)(5x+2)$.}
\end{enumerate}