\exercice[style=R,N=3]{Factorisation d'un polynôme de degré 3}

On considère le polynôme $P$ suivant :
\[
P(x)=10x^3+9x^2-13x-6.
\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que $1$ est une racine de $P(x)$.
\item On peut alors écrire $P(x)$ sous la forme factorisée : $P(x)=(x-1)(ax^2+bx+c)$.
\begin{enumerate}
\item Développer cette expression factorisée et montrer que l'on obtient : 
\[ P(x)=ax^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c.\]
\item Identifier alors les coefficients de chaque terme en $x^n$, puis en déduire les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
\end{enumerate}
\item Déterminer une factorisation de $P(x)$ comme produit de trois polynômes de degré 1 dont les coefficients sont tous entiers.
\end{enumerate}