\exercice[style=R,N=4]{Somme et produit des deux racines}

On considère un polynôme $A(x)=ax^2+bx+c$ qui admet deux racines distinctes $x_1$ et $x_2$.

\begin{enumerate}
\item\label{q1ex12secdeg} \'Ecrire $A(x)$ sous sa forme factorisée en fonction de $x_1$ et $x_2$.
\item On note $S=x_1+x_2$ et $P=x_1x_2$.

À l'aide de la question \ref{q1ex12secdeg}, montrer que $A(x)=a(x^2-Sx+P)$.

\item\label{q2ex12secdeg} Montrer alors que $S=-\dfrac{b}{a}$ et $P=\dfrac{c}{a}$.

\item En vous aidant de la question \ref{q2ex12secdeg} et en remarquant que $x_1=1$ est une racine du polynôme \linebreak$A(x)=3x^2-5x+2$, déterminer rapidement la seconde racine $x_2$ de $A(x)$.
\end{enumerate}

\textit{Remarque :} si on constate qu'un polynôme admet pour racine \og 1 \fg, \og $-1$ \fg, \og 2 \fg{} ou \og $-2$ \fg, on peut utiliser cette méthode pour trouver la seconde racine plus rapidement.

Si la somme des coefficients du polynôme est égale à 0, alors \og 1 \fg{} est une racine. Pour les autres valeurs, il faut sans doute plus de feeling...