\begin{enumerate}
\item Le bénéfice est égal au prix de vente (soit $ax$) auquel on soustrait les charges ($f(x)+650$).
Ainsi, $b(x)=ax-(-0,003x^2+0,5x+650)$, soit $b(x)=0,003x^2+(a-0,5)x-650$.

\item 
\begin{enumerate}
\item La courbe représentative de $b$ est une parabole dont les branches sont tournées vers le haut (car le coefficient de $x^2$ est positif) donc la fonction $b$ va décroître (pour $x$ allant jusqu'à $-\dfrac{a-0,5}{2\times0,003}$ puis croître à partir de $-\dfrac{a-0,5}{0,006}$. Comme $a$ est un entier naturel non nul, $a>0$ donc $a-0,5>0,5$ et donc $-\dfrac{a-0,5}{0,006}<0$.

La fonction $b$ sera donc croissante sur \intervFF{0}{165}. Le bénéfice sera donc toujours optimal pour $x=165$ et sera donc égal à :
\[ b(165)=0,003\times165^2+165(a-0,5)-650=165a-650,825.
\]

\item Le bénéfice soit être supérieur ou égal à 0 donc :
\begin{align*}
165a-650,825\geqslant0 & \iff a\geqslant\dfrac{650,825}{165}\\
& \iff a\geqslant3,94
\end{align*}
$a$ étant un entier, il faut que le prix de vente d'un costume soit au moins égal à 4 \euro.

\item Si l'on veut que $b(165)=\numprint{2000}$, alors :
\begin{align*}
165a-650,825=\numprint{2000} & \iff 165a=\numprint{2000}+650,825\\
& \iff a = \dfrac{\numprint{2650,825}}{165}\\
& \iff a \approx 16,06
\end{align*}

\uline{Ainsi, un costume devra être vendu 16 \euro{} pour avoir un bénéfice de \numprint{2000} \euro.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}