\exercice[style=R,N=4]{Détermination d'un prix de vente}

Jean Frémis est responsable d'une boutique de déguisements d'Halloween. Il vend tous ses déguisements $a$ \euro, $a$ étant un entier naturel non nul.

Il paie un loyer pour sa boutique de 500 \euro{} par mois. À cela s'ajoutent divers frais fixes qu'il estime à 150 \euro{} mensuels. De plus, les frais mensuels de réapprovisionnement d'articles sont estimés par la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ compris entre 0 et 165 par :
\[ f(x)=-0,003x^2+0,5x\;, \]
où $x$ représente le nombre d'articles commandés à sa centrale d'achat.

\begin{enumerate}
\item Montrer que le bénéfice mensuel pour $x$ articles vendus est exprimé par la fonction $b$ définie par :
\[
b(x)=0,003x^2+(a-0,5)x-650.
\]
\item La capacité de stockage de sa boutique ne lui permet de n'avoir que 165 costumes. Il souhaite donc que son bénéfice soit maximal pour $x=165$.

\begin{enumerate}
\item Montrer qu'il n'a aucun soucis à se faire de ce côté là et que son bénéfice sera toujours optimal pour $x=165$.
\item Déterminer le prix minimal de vente d'un costume.
\item Déterminer le prix de vente d'un costume de sorte à ce que son bénéfice mensuel soit de \numprint{2000}~\euro.
\end{enumerate}
\end{enumerate}