\exercice[style=R,N=5]{Un problème lié à l'économie}

Une entreprise fabrique des pizzas comptées par lots de 40 pizzas. On suppose qu'elle vend toute sa production. Les coûts de production sont, d'une part, les coûts fixes (amortissement du four, assurances, ...) et d'autre part, les coûts variables (salaires, ingrédients, ...) qui dépendent du nombre $q$ de lots fabriqués.

On estime que la fonction de coût total de cette entreprise (exprimé en dizaine d'euros) pour une journée est donnée par la fonction :
\[
C(q)=\dfrac{1}{2}q^3-2q^2+5q+20.
\]
On suppose que cette entreprise ne peut pas fabriquer plus de 800 pizzas par jour.

Cette entreprise vend une pizza 7,50 \euro. On note $B$ la fonction qui donne le bénéfice quotidien de l'entreprise en fonction de $q$ lots fabriqués et vendus.

\begin{enumerate}
\item \'Etudier les variations de $C$ sur l'intervalle \intervFF{1}{20}.

\item Exprimer en fonction de $q$ le bénéfice $B(q)$ de cette entreprise (en dizaine d'euros).

\item \'Etudier les variations de $B$ sur \intervFF{0}{20}.

En déduire le nombre de lots de pizzas qu'il faut fabriquer et vendre pour obtenir un bénéfice maximal. Quel est alors ce bénéfice ?
\end{enumerate}