\exercice[style=R,N=5]{Coût total, marginal et bénéfice}

Une entreprise fabrique des fils de cuivre. Pour $q$ tonnes fabriquées, le coût de production (exprimé en dizaine d'euros) est donné par :
\[
C(q)=\dfrac{1}{3}q^3-16q^2+266q+10.
\]
Les contraintes de production ne permettent pas de produire plus de 40 tonnes par jour.

\medskip

Le coût moyen de production est obtenu par l'expression :
\[
C_M(q)=\dfrac{C(q)}{q}\qquad\text{pour }q\in\intervOF{0}{40}.
\]
Le coût marginal est le coût supplémentaire engendré par la production d'une tonne supplémentaire. On l'assimile à la dérivée du coût de production :
\[
C_m(q)=C'(q).
\]
Chaque tonne fabriquée est vendue \numprint{3000} euros.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'expression du coût marginal $C_m(q)$.
\item En déduire les variations du coût total $C(q)$ sur \intervFF{0}{40}.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'expression du coût moyen $C_M(q)$.
\item Montrer que :
\[
C_m^\prime(q)=\dfrac{2q^3-48q^2-30}{3q^2}.
\]
On admettra que $C_M^\prime(q)\leqslant0$ sur \intervFF{0}{q_0} et $C_M^\prime(q)\geqslant0$ sur \intervFF{q_0}{40}, avec $q_0\approx24,026$.
\item Donner les variations de $C_M$ sur \intervOF{0}{40}.
\item Calculer une valeur approchée à l'unité de $C_M(q_0)$ et de $C_m(q_0)$. Que peut-on constater ?
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que le bénéfice quotidien de l'entreprise est donné par l'expression :
\[
B(q)=-\dfrac{1}{3}q^3+16q^2-34q-10.
\]
\item Trouver les variations de $B$ sur \intervFF{0}{40}.
\item Pour quelle production $q_0$ (arrondie à l'entier le plus proche) le bénéfice est-il maximal ? Quelle est alors sa valeur ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}