\exercice[style=R,N=5]{Avec un algorithme (2)}

On considère la suite \suite{u}{n}{} définie par :
\[
\begin{cases}
u_0=2\\
u_{n+1}=\dfrac{2}{3u_n+1}\qquad\forall n\in\N
\end{cases}
\]

On considère alors l'algorithme suivant :

\medskip

\begin{algo}{}
\begin{algoinit}
Affecter à U la valeur 2\\
Affecter à i la valeur 0\\
Saisir la valeur de N
\end{algoinit}
\begin{algobody}
\begin{algowhile}{i<N}
Affecter à i la valeur i+1\\
Affecter à U la valeur 2/(3*U+1)
\end{algowhile}
\end{algobody}
\begin{algoend}
Afficher U
\end{algoend}
\end{algo}

\begin{enumerate}
\item \`A l'aide d'un tableau, exécuter cet algorithme pour $N=4$.

Qu'affiche alors cet algorithme ?
\end{enumerate}

On considère la suite \suite{v}{n}{} définie pour tout entier naturel $n$ par :
\[ 
v_n=\dfrac{u_n-\frac{2}{3}}{u_n+1}.
\]

\begin{enumerate}[start=2]
\item Montrer que \suite{v}{n}{} est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
\item En déduire une expression de $v_n$ en fonction de $n$, puis une expression de $u_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}