\exercice[style=R,N=2]{Influence d'un ajout dans une série statistique}

On considère une série statistique  de $n$ données $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$.

On note $\overline{x}$ sa moyenne et V sa variance.

\medskip

On ajoute une donnée $x$ à cette série, et on note $m(x)$ la nouvelle moyenne et $v(x)$ la nouvelle variance.

\begin{enumerate}
\item Montrer que :
\[
m(x)=\dfrac{x+n\overline{x}}{n+1}.
\]
\item Quelle valeur de $x$ faut-il prendre pour que $m(x)=\overline{x}$ ?

\item En utilisant le théorème de K\"onig-Huygens, montrer que :
\[
v(x)=\dfrac{1}{(n+1)^2}\left( nx^2-2n\overline{x}x+n(n+1)\text{V}+n\overline{x}\right).
\]

\item En déduire la valeur de $x$ pour laquelle $v(x)$ est minimale.
\end{enumerate}