\documentclass[12pt]{article}
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\begin{document}
\chap[num=C,pos=right,color=purple]{Le second degré}{\emph{Stéphane PASQUET, \today}}

%--------------- TOC
\renewcommand{\contentsname}{\color{purple}\titreFONT\huge Sommaire}
{\color{purple}\hrulefill}
{\tocFONT\tableofcontents}
{\color{purple}\hrulefill}

\vspace*{1cm} %---------- PREREQUIS

\begin{prerequis}
\item Factorisation \& développement
\item \'Etude des variations d'une fonction (niveau 2\up{nde})
\end{prerequis}

\newpage %----------------- DEBUT

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Trinôme du second degré}]
On appelle \definmot{trinôme du second degré} toute expression de la forme $ax^2+bx+c$, où $a\neq0$, $b\in\R$ et $c\in\R$ .
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,pluriel]
\begin{itemize}
\item $-x^2+2x-3$ est un trinôme de degré 2, avec $a=-1$, $b=2$ et $c=-3$.
\item $3x^2-4$ est un trinôme de degré 2, avec $a=3$, $b=0$ et $c=-4$.
\item $x^2-8x$ est un trinôme de degré 2, avec $a=1$, $b=-8$ et $c=0$.
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Racine d'un trinôme du second degré}]
Une \definmot{racine} du trinôme du second degré $ax^2+bx+c$ est une valeur $\alpha$ telle que :
\[ a\alpha^2+b\alpha+c=0.\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,pluriel]
\begin{itemize}
\item \og 1 \fg{} est une racine de $x^2+x-2$ car $1^2+1-2=1+1-2=2-2=0$.
\item \og $-2$ \fg{} est une racine de $x^2-4$ car $(-2)^2-4=4-4=0$.
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Discriminant}]
On appelle \definmot{discriminant} du trinôme $ax^2+bx+c$ le nombre :
\[
\Delta=b^2-4ac.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,pluriel]
\begin{itemize}
\item Le trinôme $x^2+x+1$ a pour discriminant :
\begin{align*}
\Delta & = 1^2-4\times1\times1\\
\Delta & = 1-4\\
\Aboxed{\Delta & = -3}
\end{align*}

\item Le trinôme $5x^2-3x-7$ a pour discriminant :
\begin{align*}
\Delta & = (-3)^2-4\times5\times(-7)\\
\Delta & = 9+140\\
\Aboxed{\Delta & = 149}
\end{align*}
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Forme canonique d'un trinôme de degré 2}]
Tout trinôme de degré 2 de la forme $ax^2+bx+c$ admet une forme dite \definmot{forme canonique} :
\[
ax^2+bx+c=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2}\right]\;,
\]
où $\Delta$ est le discriminant du trinôme.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
Il suffit de développer la forme canonique :
\begin{align*}
a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2}\right] & = a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right]\\
& = a\left(x^2+2\times\dfrac{b}{2a}x+\dfrac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right)\\
& = a\left(x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{b^2-b^2+4ac}{4a^2} \right)\\
& = a\left(x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}\right)\\
& = ax^2+bx+c.
\end{align*}
\vskip-2em
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop]
Soit le trinôme $ax^2+bx+c$.
\begin{itemize}
\item Si $\Delta>0$, alors il admet deux racines, que l'on peut noter :
\[
\alpha=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\qquad\text{et}\qquad\beta=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.
\]
Dans ce cas, 
\[ ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta).\]

\item Si $\Delta=0$, alors il admet une racine dite \og double \fg{} :
\[ \alpha=-\dfrac{b}{2a}.\]
Dans ce cas, 
\[ ax^2+bx+c=a(x-\alpha)^2.\]

\item Si $\Delta<0$, le trinôme n'a pas de racine et ne se factorise pas.
\end{itemize}
\end{pasbox}

\newpage

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
Partons de la forme canonique de $ax^2+bx+c$ :
\[ a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2}\right]. \]

\begin{itemize}
\item si $\Delta=0$, alors elle devient :
\[ a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2. \]
Cette expression s'annule uniquement lorsque $x=-\dfrac{b}{2a}$. On voit donc qu'il n'existe qu'une racine. 

\item Si $\Delta>0$, alors $\sqrt{\Delta}$ existe et la forme canonique devient :
\begin{align*}
a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2}\right] & = a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2\right]\\
& = a\left(x+\dfrac{b}{2a}-\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a} \right)\left(x+\dfrac{b}{2a}+\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a} \right)\\
\intertext{On a ici utilisé l'identité remarquable $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$}
& = a\left(x+\dfrac{b-\sqrt{\Delta}}{2a} \right)\left(x+\dfrac{b+\sqrt{\Delta}}{2a} \right)\\
& = a\left(x-\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \right)\left(x-\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \right)
\end{align*}
Le trinôme a donc deux racines : $\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

\item Si $\Delta<0$, on ne peut pas factoriser la forme canonique, donc le trinôme n'est pas factorisable.
\end{itemize}
\vskip-1.5em
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Variations}]
On considère la fonction $x\mapsto ax^2+bx+c$. Alors, le tableau de variation de $f$ est :

\medskip

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{center}
\textbf{Si $\pmb{a>0}$}

\medskip

\begin{tikzpicture}
\tikzset{node style/.append style = {fill=red!5}}
\tkzTabInit[%
				espcl=1.5,%
				color,%
				colorT = red!5,%
				colorC = red!20,%
				colorL = red!20,%
				colorV = red!20]
				{$x$/0.7,$f(x)$/1}
				{$-\infty$,$-\frac{b}{2a}$,$+\infty$}
\tkzTabVar{+/,-/,+/}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{center}
\textbf{Si $\pmb{a<0}$}

\medskip

\begin{tikzpicture}
\tikzset{node style/.append style = {fill=red!5}}
\tkzTabInit[%
				espcl=1.5,%
				color,%
				colorT = red!5,%
				colorC = red!20,%
				colorL = red!20,%
				colorV = red!20]
				{$x$/0.7,$f(x)$/1}
				{$-\infty$,$-\frac{b}{2a}$,$+\infty$}
\tkzTabVar{-/,+/,-/}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
Posons $f(x)=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}\right]$ et considérons $x_1$ et $x_2$ deux nombres de \intervFF{-\infty}{-\dfrac{b}{2a}} tels que $x_1<x_2$.

Alors,
\begin{align*}
f(x_1)-f(x_2) & = a\left(x_1+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(x_2+\frac{b}{2a}\right)^2\\
& = a\left(x_1+\dfrac{b}{2a}-x_2-\dfrac{b}{2a}\right)\left(x_1+\dfrac{b}{2a}+x_2+\dfrac{b}{2a}\right)\\
& = a(x_1-x_2)\left(x_1+x_2+\dfrac{b}{a}\right)
\end{align*}

Or, $x_1<-\dfrac{b}{2a}$ et $x_2<-\dfrac{b}{2a}$ donc $x_1+x_2<-\dfrac{b}{a}$, soit $x_1+x_2+\dfrac{b}{a}<0$.

De plus, $x_1<x_2$ donc $x_1-x_2<0$. Ainsi, $f(x_1)-f(x_2)$ est du signe de $a$ sur \intervFF{-\infty}{-\dfrac{b}{2a}}, ce qui signifie que sur cet intervalle, 
\begin{itemize}
\item Si $a>0$, $f(x_1)>f(x_2)$ et donc $f$ est décroissante ;
\item Si $a<0$, $f(x_1)<f(x_2)$ et donc $f$ est croissante.
\end{itemize}

Un raisonnement similaire donnerait le contraire sur \intervFF{-\dfrac{b}{2a}}{+\infty}, d'où la propriété.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem,name={Interprétation graphique des racines}]
Si le trinôme $ax^2+bx+c$ admet pour racines distinctes $\alpha$ et $\beta$, alors sa représentation graphique $\mathscr{P}$ coupe l'axe des abscisses en deux points d'abscisse $\alpha$ et $\beta$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth',scale=0.8]
\draw[->] (-6,0) -- (5,0);
\draw[->] (0,-2) -- (0,5);
\clip (-6,-2) rectangle (5,5);
\draw[thick,red] plot[domain=-6:5,samples=100] (\x,{0.3*\x*\x+\x-1});
\node[red] at (3.5,4.5) {$\mathscr{P}$};
\node[red,below left] at (-4.2,0) {$\alpha$};
\node[red,below right] at (0.8,0) {$\beta$};
\draw[dashed,blue] (-1.67,-1.83) -- (-1.67,0) node[above] {$-\frac{b}{2a}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Si le trinôme admet un discriminant nul, alors l'axe des abscisses sera \emph{tangent} à $\mathscr{P}$ en son sommet, c'est-à-dire qu'il n'y a qu'un unique point d'intersection.

\medskip

Si $\Delta<0$, il n'y a aucun point d'intersection.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Signes d'un trinôme}]
\begin{itemize}
\item Si $\Delta<0$, 
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{node style/.append style = {fill=red!5}}
\tkzTabInit[%
				lgt = 5,%
				espcl=6,%
				color,%
				colorT = red!5,%
				colorC = red!20,%
				colorL = red!20,%
				colorV = red!20]
				{$x$/0.7,{Signe de $ax^2+bx+c$}/1}
				{$-\infty$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,{\text{signe de $a$}}}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item Si $\Delta=0$, 
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{node style/.append style = {fill=red!5}}
\tkzTabInit[%
				lgt = 5,%
				espcl=3,%
				color,%
				colorT = red!5,%
				colorC = red!20,%
				colorL = red!20,%
				colorV = red!20]
				{$x$/1,{Signe de $ax^2+bx+x$}/1}
				{$-\infty$,$-\frac{b}{2a}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,{\text{signe de $a$}},z,{\text{signe de $a$}}}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item Si $\Delta>0$, 
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{node style/.append style = {fill=red!5}}
\tkzTabInit[%
				lgt = 5,%
				espcl=3,%
				color,%
				colorT = red!5,%
				colorC = red!20,%
				colorL = red!20,%
				colorV = red!20]
				{$x$/0.7,{Signe de $ax^2+bx+x$}/1}
				{$-\infty$,$\alpha$,$\beta$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,{\text{signe de $a$}},z,{\text{signe de $-a$}},z,{\text{signe de $a$}}}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{itemize}
\end{pasbox}

Cette dernière propriété est une évidence si l'on regarde la représentation graphique d'un trinôme en fonction du signe de $a$.
\end{document}	