\documentclass[12pt]{article}
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\begin{document}
\chap[num=C,pos=right,color=purple]{Fonctions de référence}{\emph{Stéphane PASQUET, \today}}

%--------------- TOC
\renewcommand{\contentsname}{\color{purple}\titreFONT\huge Sommaire}
{\color{purple}\hrulefill}
{\tocFONT\tableofcontents}
{\color{purple}\hrulefill}

\vspace*{1cm} %---------- PREREQUIS

\begin{prerequis}
\item Sens de variation d'une fonction
\item Tableau de variation d'une fonction
\end{prerequis}

\newpage %----------------- DEBUT

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Domaine de définition}]
On appelle \definmot{domaine de définition} d'une fonction $f$ l'ensemble de toutes les valeurs de $x$ telles que $f(x)$ existe.

On le note fréquemment $\mathscr{D}_f$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,pluriel]
\begin{enumerate}
\item Si $f(x)=\dfrac{1}{x}$, alors $\mathscr{D}_f$ est l'ensemble de toutes les valeurs de $x$ telles que l'on puisse calculer l'inverse de $x$, c'est-à-dire toutes les valeurs réelles sauf 0 : \[\mathscr{D}_f=\R*=\intervOO{-\infty}{0}\cup\intervOO{0}{+\infty}\;.\]

\item Si $g(x)=\dfrac{1}{x^2-9}$ alors $\mathscr{D}_g$ est l'ensemble des valeurs de $x$ telles que $x^2-9\neq0$, soient $\R$ privé des valeurs $-3$ et 3 :
\[ \mathscr{D}_g=\R\setminus\{-3~;3\}=\intervOO{-\infty}{-3}\cup\intervOO{-3}{3}\cup\intervOO{3}{+\infty}\;.\]
\end{enumerate}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={La fonction racine carrée (fonction de référence)}]
La fonction racine carrée est la fonction définie sur $\R_+$ par :
\[
x\longmapsto\sqrt x\;.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Sens de variation de la fonction racine carrée}]
La fonction racine carrée est strictement croissante sur \intervFO{0}{+\infty}.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
Soient deux nombres réels $a$ et $b$ tels que $0<a<b$. Posons $f(x)=\sqrt{x}$. Alors,
\begin{align*}
f(a)-f(b) & = \sqrt{a}-\sqrt{b}\\
& = \dfrac{\big(\sqrt{a}-\sqrt{b}\big)\big(\sqrt{a}+\sqrt{b}\big)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\\
& = \dfrac{\big(\sqrt{a}\big)^2-\big(\sqrt{b}\big)^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\\
& = \dfrac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}
\end{align*}
Or, $a<b$ donc $a-b<0$ ; de plus, $\sqrt{a}>0$ et $\sqrt{b}>0$ donc $\sqrt{a}+\sqrt{b}>0$.

Ainsi, $f(a)-f(b)<0$, soit $f(a)<f(b)$, ce qui signifie que $f$ est strictement croissante sur \intervFO{0}{+\infty} (puisque $a$ et $b$ sont pris quelconques dans cet intervalle).
\end{pasbox}

La représentation graphique de la fonction $x\longmapsto\sqrt{x}$ dans un repère orthonormé est la suivante :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex]
\draw[gray!50] (0,0) grid (9,3);
\draw[thick,->] (0,0) -- (10,0);
\draw[thick,->] (0,0) -- (0,4);
\draw[red] plot[domain=0:9,samples=100] (\x,{sqrt(\x)});
\node[below left] at (0,0) {O};
\foreach \x in {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
{
	\draw[thick] (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below] {\x};
}
\foreach \x in {1,2,3}
{
	\draw[thick] (0.1,\x) -- (-0.1,\x) node[left] {\x};
}
\end{tikzpicture}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%% Fonction cube

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={La fonction cube (fonction de référence)}]
La fonction cube est la fonction définie sur $\R$ par :
\[
x\longmapsto x^3\;.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Sens de variation de la fonction cube}]
La fonction  cube est strictement croissante sur \R.
\end{pasbox}


\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
Soient deux nombres réels $a$ et $b$ tels que $a<b$. Posons $f(x)=x^3$. Alors,
\begin{align*}
f(a)-f(b) & = a^3-b^3\\
& = (a-b)(a^2+ab+b^2) \quad\text{(admis)}
\end{align*}

Or, $a-b<0$, $a^2>0$ et $b^2>0$.

Si on prend $a$ et $b$ tout deux positifs ou tout deux négatifs, $ab>0$ (car $a$ et $b$ ont le m\^eme signe). Donc $f(a)-f(b)<0$, soit $f(a)<f(b)$.

La fonction $f$ est alors croissante sur $\R_+$ et sur $\R_-$, donc sur \R.
\end{pasbox}

%La représentation graphique de la fonction $x\longmapsto x^3$ dans un repère orthogonal est la suivante :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex,xscale=2,yscale=0.125]
\draw[gray!50] (-3,-27) grid[xstep=0.5,ystep=5] (3,27);
\draw[thick,->] (-4,0) -- (4,0);
\draw[thick,->] (0,-30) -- (0,30);
\draw[red] plot[domain=-3:3,samples=100] (\x,{\x*\x*\x});
\node[below left] at (0,0) {O};
\foreach \x in {-3,-2,-1,1,2,3}
{
	\draw[thick] (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below] {\x};
}
\foreach \x in {-25,-20,-15,-10,-5,5,10,15,20,25}
{
	\draw[thick] (0.05,\x) -- (-0.05,\x) node[left] {\x};
}
\node[fill=white,draw,rounded corners,text width=3.5cm, text centered,thick] at (1.5,-15) {Représentation de la fonction cube};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\end{document}	