\documentclass[12pt]{article}
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\begin{document}
\chap[num=C,pos=right,color=purple]{Dérivation}{\emph{Stéphane PASQUET, \today}}

%--------------- TOC
\renewcommand{\contentsname}{\color{purple}\titreFONT\huge Sommaire}
{\color{purple}\hrulefill}
{\tocFONT\tableofcontents}
{\color{purple}\hrulefill}

\vspace*{1cm} %---------- PREREQUIS

\begin{prerequis}
\item Calcul du coefficient directeur d'une droite sachant les coordonnées de deux points de cette droite
\end{prerequis}

\newpage %----------------- DEBUT

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Tangente à une courbe en un point}]
Soit $f$ une fonction, de courbe représentative $\mathscr{C}$.\\
On appelle \definmot{tangente} à $\mathscr{C}$ en A la droite $\mathcal{T}$ qui \og frôle \fg{} $\mathscr{C}$ en A.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex]
\draw[->] (-5,0) -- (2,0);
\draw[->] (0,-3) -- (0,5);
\clip (-5,-3.2) rectangle (3,6);
\draw[red,thick] plot[domain=-5:2,samples=100] (\x,{0.5*\x*\x+2*\x-1}) node[below right]  {$\mathscr{C}$};
\draw[blue,thick] plot[domain=-2:2] (\x,{2*\x-1}) node[below right] {$\mathcal{T}$};
\fill (0,-1) circle (1.5pt) node[right] {A};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Ici, $\mathcal{T}$ est la tangente à $\mathscr{C}$ en A.

On notera fréquemment cette tangente : $\mathcal{T}_A$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=act,name={Découverte du nombre dérivé}]
On considère une fonction $f$ telle que sa courbe représentative $\mathscr{C}$ soit \og en un seul morceau \fg{} sur un intervalle $I$.

On considère alors deux points A\coord{a}{f(a)} et M\coord{a+h}{f(a+h)} de $\mathscr{C}$, avec $a\in I$ et $h>0$ tel que $a+h\in I$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer une expression du coefficient directeur de (AM) en fonction de $a$ et $h$.\\
On le notera $\tau(h)$.
\item Que se passe-t-il pour (AM) si $h$ se rapproche de 0 ?\\
Conclure alors sur le coefficient directeur de la tangente en A à $\mathscr{C}$.
\end{enumerate}
\end{pasbox}

\begin{enumerate}
\item Le coefficient directeur de (AM) est :
\[
\tau(h)=\dfrac{y_M-y_A}{x_M-x_A}=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{a+h-a}=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\;.
\]

\newpage

\item Si $h$ se rapproche de 0, alors M se rapproche de A :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex]
\draw[->] (-5,0) -- (2,0);
\draw[->] (0,-3) -- (0,5);
\draw[red,thick] plot[domain=-5:2,samples=100] (\x,{0.5*\x*\x+2*\x-1}) node[below right]  {$\mathscr{C}$};
\fill (-4,-1) circle (1.5pt) node[below left] {A};
\draw[blue,dashed] (-4,-1) -- (1,{0.5+2-1}) node[right] {M$_1$};
\draw[purple,dotted] (-4,-1) -- (-1,{0.5-2-1}) node[right] {M$_2$};
\draw[green!50!black,dotted] (-4,-1) -- (-2,{2-4-1}) node[below] {M$_3$};
\draw[gray,dotted] (-4,-1) -- (-4,0) node[above] {$a$};
\draw[gray,dotted] (1,1.5) -- (1,0) node[below,scale=0.7] {$a+h_1$};
\draw[gray,dotted] (-1,-2.5) -- (-1,0) node[above,scale=0.7] {$a+h_2$};
\draw[gray,dotted] (-2,{2-4-1}) -- (-2,0) node[above left,scale=0.7] {$a+h_3$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Dans ce cas, (AM) se rapproche de la tangente en A à $\mathscr{C}$.

Ainsi, si $h$ se rapproche de 0, $\tau(h)$ se rapproche du coefficient directeur de $\mathcal{T}_A$.
\end{enumerate}

\begin{pasbox}[degrade,style=nota,name={Notation d'une limite}]
On notera :
\[
\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}
\]
le nombre \og limite \fg{} auquel on arrive lorsque l'on calcule $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ pour $h$ se rapprochant de plus en plus de 0.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Nombre dérivé en $a$}]
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle I contenant $a$, de courbe représentative $\mathscr{C}$.\\
On appelle \definmot{nombre dérivé de $f$ en $a$} le coefficient directeur de la tangente à $\mathscr{C}$ au point d'abscisse $a$, c'est-à-dire, d'après l'activité précédente :
\[
\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}.
\]
On notera alors $f'(a)$ ce nombre dérivé de $f$ en $a$.
\[
f'(a)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\;.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem]
Il est important d'associer $f'(a)$ au coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Fonction dérivable}]
On dit qu'une fonction $f$ est \definmot{dérivable  en $a$} si $f'(a)$ existe et n'est pas infini.

On dit que $f$ est \definmot{dérivable sur un intervalle I} si $f$ est dérivable en tout point de I.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=x^2$.

Est-elle dérivable en 2 ? Pour le savoir, regardons si $f'(2)$ existe.

Pour cela, exprimons d'abord $\tau(h)$ (que l'on appelle le taux d'accroissement de $f$) :
\begin{align*}
\tau(h) & = \dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}\\
& = \dfrac{(2+h)^2-2^2}{h}\\
& = \dfrac{(2+h-2)(2+h+2)}{h}\\
& = \dfrac{h(4+h)}{h}\\
& = 4+h\qquad\text{avec }h\neq0\;.
\end{align*}

Ainsi, si $h$ se rapproche de 0, $\tau(h)$ se rapproche de $4+0=4$ et donc :
\[
f'(2)=\lim_{h\to0}(4+h)=4\;.
\]
$f'(2)$ existe donc $f$ est dérivable en 2.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Fonction dérivée}]
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle I.

On appelle \definmot{fonction dérivée de $f$} la fonction notée $f'(x)$ qui à un réel $x$ de I associe le nombre dérivé $f'(x)$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Soit $f(x)=x^2$, et soit $a\in\R$. Le taux d'accroissement de $f$ est :
\begin{align*}
\tau(h) & = \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\\
& = \dfrac{(a+h)^2-a^2}{h}\\
& = \dfrac{(a+h-a)(a+h+a)}{h}\\
& = \dfrac{h(2a+h)}{h}\\
& = 2a+h\qquad\text{avec }h\neq0\;.
\end{align*}\breakbox

Ainsi,
\[
f'(a)=\lim_{h\to0}(2a+h)=2a.
\]

Par conséquent, la dérivée de la fonction $f$ est :
\[ f'(x) = 2x.\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Fonctions dérivées usuelles}]
\begin{center}
\arrayrulecolor{red!50!black}
\begin{tabular}{|*3{Sc|}}
\hline
\rowcolor{red!20}\color{red!50!black}$\pmb{f(x)}$ & 
\color{red!50!black}$\pmb{f'(x)}$ & \color{red!50!black}\bfseries Remarques\\
\hline
$k$ & 0 & $k\in\R$\\
\hline
$x$ & 1 & $x\in\R$\\
\hline
$x^n$ & $nx^{n-1}$ & $x\in\R$, $n\in\N*$\\
\hline
$\sqrt{x}$ & $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ & $x\in\R*_+$\\
\hline
$\dfrac{1}{x}$ & $-\dfrac{1}{x^2}$ & $x\neq0$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Dérivée d'une somme de fonctions}]
Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle I. Alors,
\[ (u+v)'=u'+v'\;.\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Dérivée d'un produit d'une fonction par une constante}]
Soient $u$ une fonction dérivable sur un intervalle I et $k$ un réel. Alors,
\[ (ku)'=ku'\;.\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Soit $f(x)=5x^2-3x+7$.

Alors, $\begin{aligned}[t]
f'(x) & =5(x^2)'-3(x)'+(7)'\\
& = 5\times2x-3\times1+0\\
& = 10x-3.
\end{aligned}$
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Dérivée d'un produit de fonctions}]
Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle I. Alors,
\[ (uv)'=u'v+uv'\;.\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
Calculons le taux d'accroissement de la fonction $uv$ en $a$ :
\begin{align*}
\tau(h) & = \dfrac{(uv)(a+h)-(uv)(a)}{h}\\
& = \dfrac{u(a+h)v(a+h)-u(a)v(a)}{h}\\
& = \dfrac{\textcolor{blue}{u(a+h)v(a)}-u(a)v(a)\textcolor{blue}{-u(a+h)v(a)}+u(a+h)v(a+h)}{h}
\intertext{(On a ici fait appara\^itre $u(a+h)v(a)$)}\\
& = \dfrac{\big[u(a+h)-u(a)\big]v(a)+u(a+h)\big[v(a+h)-v(a)\big]}{h}\\
& = \dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}v(a)+u(a+h)\dfrac{v(a+h)-v(a)}{h}\;.
\end{align*}
Or,
\[ \lim_{h\to0}\dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}=u'(a),\qquad \lim_{h\to0}\dfrac{v(a+h)-v(a)}{h}=v'(a)\qquad\text{et}\qquad\lim_{h\to0}u(a+h)=u(a).\]
Ainsi, 
\[
\lim_{h\to0}\tau(h)=u'(a)v(a)+u(a)v'(a).\]
Donc $f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Soit $f(x)=x\sqrt{x}$. Posons $u(x)=x$ et $v(x)=\sqrt{x}$. Alors, $u'(x)=1$ et $v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$. Ainsi, 
\begin{align*}
f'(x) & =u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\\
& =1\times\sqrt{x}+x\times\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\\
& = \sqrt{x}+\dfrac{x}{2\sqrt{x}}\\
& = \sqrt{x}+\dfrac{\sqrt{x}\times\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}\\
\Aboxed{f'(x) & = \dfrac{3}{2}\sqrt x\;.}
\end{align*}
\vspace*{-1.7em}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Dérivée d'un quotient de fonctions}]
Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle I telles que $v(x)\neq0$ pour tout $x$ de I. Alors,
\[ \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\;.\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Soit $f(x)=\dfrac{2x^2-5x+1}{x-1}$.

Posons $u(x)=2x^2-5x+1$ et $v(x)=x-1$.

Alors, $u'(x)=4x-5$ et $v'(x)=1$ d'où :

\begin{align*}
f'(x) & = \dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{\big[v(x)\big]^2}\\
& = \dfrac{(4x-5)(x-1)-(2x^2-5x+1)\times1}{(x-1)^2}\\
& = \dfrac{4x^2-4x-5x+5-2x^2+5x-1}{(x-1)^2}\\
\Aboxed{f'(x) & = \dfrac{2x^2-4x+4}{(x-1)^2}\;.}
\end{align*}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem]
Dans le cas de la dérivée d'un quotient, il n'est pas nécessaire de développer le carré au dénominateur.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={\'Equation de la tangente}]
Soit $f$ une fonction dérivable en $a\in I$, de courbe représentative $\mathscr{C}$.

Soit A\coord{a}{f(a)}. La tangente $\mathcal{T}_A$ a pour équation réduite :
\[
y=f'(a)(x-a)+f(a).
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Reprenons la fonction $f(x)=\dfrac{2x^2-5x+1}{x-1}$ de l'exemple précédent.

Nous avions trouvé : $f'(x)=\dfrac{2x^2-4x+4}{(x-1)^2}$ donc en A\coord{0}{f(0)}, on a :
\begin{align*}
\mathcal{T}_A &: y=f'(0)(x-0)+f(0)\\
\text{soit }\mathcal{T}_A  &: y=4x-1.
\end{align*}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Variations et dérivée}]
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle I.
\begin{itemize}
\item Si $f'(x)\geqslant0$ sur I, alors $f$ est croissante sur I ;
\item Si $f'(x)\leqslant0$ sur I, alors $f$ est décroissante sur I.
\end{itemize}
\end{pasbox}

Nous n'allons pas faire de démonstration de ce résultat mais nous pouvons tout de m\^eme voir que si le nombre dérivée de $f$ est positif en $a$, cela signifie que sa tangente \og monte \fg{}  (nombre dérivé = coefficient directeur de la tangente). Et si la tangente \og monte \fg, cela signifie que la courbe aussi (localement) et donc que la fonction est croissante (localement).

En appliquant ce raisonnement à tout réel $a$ de I, on constate la propriété.

\bigskip

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Reprenons la fonction $f(x)=\dfrac{2x^2-5x+1}{x-1}$ de l'exemple précédent.

Nous avions trouvé : $f'(x)=\dfrac{2x^2-4x+4}{(x-1)^2}$.

Le discriminant du numérateur est :
\[ \Delta = (-4)^4-4\times2\times4=16-32=-16<0.\]
Donc le numérateur est positif. De plus, le dénominateur est aussi positif donc $f'(x)>0$ sur \intervOO{-\infty}{1} et sur \intervOO{1}{+\infty}.

$f$ est donc croissante sur chacun de ces deux intervalles.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{node style/.append style = {fill=blue!5}}
\tkzTabInit[color,colorT = blue!5,colorC = blue!20,
colorL = blue!20,colorV = blue!20]{$x$/0.5,$f'(x)$/0.5,$f$/1}{$-\infty$,$-1$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,d,+}
\tkzTabVar{-/,+D-/,+/}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Extremum d'une fonction}]
Un \definmot{extremum} est un maximum ou un minimum d'une fonction. Il est obtenu lorsque la dérivée s'annule en changeant de signe.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Soit $f(x)=3x^2-4x+2$. Alors, $f'(x)=6x-4$ et on a :

\medskip

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{node style/.append style = {fill=blue!5}}
\tkzTabInit[color,colorT = blue!5,colorC = blue!20,
colorL = blue!20,colorV = blue!20,lgt=1.5,espcl=2]{$x$/0.8,$f'(x)$/0.5,$f$/1}{$-\infty$,$\frac{2}{3}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+}
\tkzTabVar{+/,-/,+/}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
Pour $x=\dfrac{2}{3}$, $f'(x)$ s'annule en changeant de signe donc un extremum est atteint pour $x=\frac{2}{3}$ (ici, il s'agit du sommet de la parabole d'équation $y=3x^2-4x+2$).
\end{minipage}
\end{pasbox}
\end{document}	