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%
\newcommand{\red}[1]{\textcolor{red}{#1}}
%FONTES POUR ALGO
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\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
%ALGO
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\def\Variables{\textcolor{bloccolor}{\textbf{VARIABLES}}}
%
\def\DebutAlgo{\textcolor{bloccolor}{\textbf{DEBUT\_ALGORITHME}}}
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\begin{document}
\chap[num=C,pos=right,color=purple]{Suites}{\emph{Stéphane PASQUET, \today}}


%--------------- TOC
\renewcommand{\contentsname}{\color{purple}\titreFONT\huge Sommaire}
{\color{purple}\hrulefill}
{\tocFONT\tableofcontents}
{\color{purple}\hrulefill}

\vspace*{1cm} %---------- PREREQUIS

\begin{prerequis}
\item Notions de fonctions
\end{prerequis}

\newpage %----------------- DEBUT


\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Suite}]
Une \definmot{suite} est une fonction dont la variable est un nombre entier.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=nota,pluriel]
Une suite est considérée comme une fonction dont l'ensemble de définition est $\N$ et l'ensemble image $\R$ :
\[
\begin{array}{ccrcl}
u & : & \N & \rightarrow & \R\\
  &   &  n & \mapsto & u_n
\end{array}
\]
De façon plus courte, on pourra noter la suite : \suite{u}{n}{} (et pas $u(n)$ pour les différencier des fonctions).

Si l'ensemble de définition n'est pas $\N$ mais, par exemple, tous les entiers supérieurs ou égaux à 2, on notera : $\suite{u}{n}{n\geqslant 2}$.
\end{pasbox}


\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Indice, terme \& rang}]
Pour une suite notée \suite{u}{n}{},
\begin{itemize}
\item  $n$ est appelé l'\definmot{indice} de la suite ;
\item $u_n$ est appelé le \definmot{terme} de la suite d'indice $n$ ;
\item la position de $u_n$ dans la suite est appelé le \definmot{rang} du terme $u_n$.
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
On considère la suite numérique \suite{u}{n}{} définie par ses premiers termes :
\[ u_0=3\quad;\quad u_1=5\quad;\quad u_2=8\quad;\quad u_3=12\quad;\quad u_4=17\quad;\quad u_5=23\;.\]
Ici,
\begin{itemize}
\item le premier terme de la suite est $u_0$, c'est-à-dire \og 3 \fg{} ; son rang est donc égal à 1 car il est le 1\ier{} de la liste.

\item  le terme d'indice \og 4 \fg{} est $u_4$, c'est-à-dire \og 17 \fg{} ; son rang est égal à 5 car il est en 5\ieme{} position dans la suite à partir du premier terme.
\end{itemize}
\end{pasbox}

{\titreFONT\textcolor{purple}{Pour résumer :}}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex]
\node[circle,draw=blue] (u) {$u$};
\node[draw=red,circle,inner sep=1pt] (indice)at ($(u.south east)+(-2pt,2pt)$) {\tiny $n$};
\draw[red,<-] (indice.south east) to[bend right=30] ($(indice.south east)+(2em,-1em)$) node[right] {l'indice};
\draw[blue,<-] (u.north east) to[bend left=30] ($(u.north east)+(2em,1em)$) node[right] {le terme};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\newpage

{\titreFONT\textcolor{purple}{Représentation graphique :}}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex]
\draw[->] (0,0) -- (10,0);
\draw[->] (0,0) -- (0,10);
\node[below left] at (0,0) {O};
\foreach \x/\y in {1/2,2/3,3/4}
{
	\draw[red,dashed] (\x,0) node[below] {$\x$} -- (\x,\y) -- (0,\y) node[left] {$u_\x=\y$};
	\fill[red] (\x,\y) circle (1.5pt);
}
\node[below,red] at (4,0) {$\cdots$};
\draw[red,dashed] (5,0) node[below] {$n-1$} -- (5,5) -- (0,5) node[left] {$u_{n-1}=5$};
\fill[red] (5,5) circle (1.5pt);
\draw[red,dashed] (6,0) node[below] {$n$} -- (6,7) -- (0,7) node[left] {$u_n=7$};
\fill[red] (6,7) circle (1.5pt);
\draw[red,dashed] (7,0) node[below] {$n+1$} -- (7,8.5) -- (0,8.5) node[left] {$u_{n+1}=8,5$};
\fill[red] (7,8.5) circle (1.5pt);
\node[red,below] at (8,0) {$\cdots$};
\foreach \y in {1,...,10}
{
\draw (0.1,\y) -- (-0.1,\y);
}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Les termes sont représentés en ordonnées ; les abscisses représentent les indices des termes.

Une suite est donc représentée par des points qui ne sont pas reliés entre eux.

\bigskip

\begin{pasbox}[degrade,style=rem]
Pour un indice quelconque, notons que $u_{n-1}$ est le terme qui vient juste avant $u_n$, et $u_{n+1}$ est celui qui vient juste après :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[every node/.style={inner ysep=2pt},>=latex]
\foreach \x in {0,1,2,3}
{
\node (u\x) at (\x,0) {$u_\x$};
}
\node at (4,0) {$\cdots$};
\node (u4) at (5,0) {$u_{n-1}$};
\node (u5) at (6,0) {$u_{n}$};
\node (u6) at (7,0) {$u_{n+1}$};
\draw[->,>=stealth'] (u0.south) to[bend right=30] (u1.south);
\draw[->] (u1.south) to[bend right=30] (u2.south);
\draw[->] (u2.south) to[bend right=30] (u3.south);
\draw[->] (u4.south) to[bend right=30] (u5.south);
\draw[->] (u5.south) to[bend right=30] (u6.south);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Suite croissante, décroissante \& constante}]
\begin{itemize}
\item Une suite \suite{u}{n}{} est \definmot{croissante} si, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}>u_n$.
\item  Une suite \suite{u}{n}{} est \definmot{décroissante} si, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}<u_n$.
\item  Une suite \suite{u}{n}{} est \definmot{constante} si, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n$.
\end{itemize}
\end{pasbox}


{\titreFONT\textcolor{purple}{Comment définit-on concrètement une suite ?}}

\bigskip

On peut définir une suite de façon \textbf{explicite} (ou \textbf{fonctionnelle}) ou \textbf{par récurrence}.

Le tableau page suivante donne quelques exemples de définition de suite.

\medskip

\arrayrulecolor{purple}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}
\hline\rowcolor{purple!10}
\centering\tocFONT\textcolor{purple}{Suites définies de façon explicite} & 
\centering\arraybackslash\tocFONT\textcolor{purple}{Suites définies par récurrence}\\
\hline
\begin{minipage}{\linewidth}
\par~
\begin{itemize}
\item $u_n=2n+3$. Dans ce cas, on a :\\
\begin{itemize}
\item $u_{\red{0}}=2\times\red{0}+3=3$ ;
\item $u_{\red{1}}=2\times\red{1}+3=5$ ;
\item $u_{\red{2}}=2\times\red{2}+3=7$ ;
\item[] $\vdots$
\end{itemize}

\item $u_n=2^n+1$. Dans ce cas, on a :\\
\begin{itemize}
\item  $u_{\red{0}}=2^{\red{0}}+1=1+1=2$ ;
\item $u_{\red{1}}=2^{\red{1}}+1=2+1=3$ ;
\item $u_{\red{2}}=2^{\red{2}}+1=4+1=5$ ;
\item[] $\vdots$
\end{itemize}

\item $u_n=n^2+3n-3^n$. Dans ce cas, on a :\\
\begin{itemize}
\item $u_{\red{0}}={\red{0}}^2+3\times{\red{0}}-3^{\red{0}}=-1$ ;
\item $u_{\red{1}}={\red{1}} ^2+3\times{\red{1}}-3^{\red{1}}=1$ ;
\item $u_{\red{2}}={\red{2}}^2+3\times{\red{2}}-3^{\red{2}}=1$ ;
\item $u_{\red{3}}={\red{3}}^2+3\times{\red{3}}-3^{\red{3}}=-9$ ;
\item[] $\vdots$
\item[]
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{\linewidth}
\begin{itemize}
\item  $\left\{\begin{array}{ll}u_0=4\\u_{n+1}=2u_n+3.\end{array}\right.$

\medskip

Cela signifie qu'un terme est égal au double de son précédent plus 3. Dans ce cas, on a :\\
\begin{itemize}
\item $u_1=2\times u_0+3=2\times4+3=11$ ;
\item  $u_2=2\times u_1+3=2\times11+3=25$ ;
\item  $u_3=2\times u_2+3=2\times25+3=53$ ;
\item[] $\vdots$
\end{itemize}

\item $\left\{\begin{array}{ll}u_0=1\\u_{n+1}=u_n^2-2.\end{array}\right.$

\medskip

Cela signifie qu'un terme est égal au carré de son précédent moins 3. Dans ce cas, on a :\\
\begin{itemize}
\item  $u_1=u_0^2-2=1^2-2=-1$;
\item  $u_2=u_1^2-2=(-1)^2-2=-1$;
\item $u_3=u_2^2-2=(-1)^2-2=-1$ ;
\item[] $\vdots$
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{minipage}\\
\hline
\end{tabularx}

\bigskip

\begin{pasbox}[degrade,style=act]
Pour chacune des questions, calculer les 4 premiers termes de la suite \suite{u}{n}{}.

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $u_n=\dfrac{1}{2^n}-n$
\item $u_n=\sqrt{n^2+n+1}$
\item $\left\{\begin{array}{l}u_0=-1\\u_{n+1}=\dfrac{u_n+1}{2}\end{array}\right.$
\item $\left\{\begin{array}{l}u_0=1\\u_{n+1}=(-1)^{u_n}+u_n\end{array}\right.$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{pasbox}

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $u_n=\dfrac{1}{2^n}-n$.\\[4pt]
$u_0=\dfrac{1}{2^0}-1=1-1=0$\\[4pt]
$u_1=\dfrac{1}{2^1}-1=\dfrac{1}{2}-1=-\dfrac{1}{2}$\\[4pt]
$u_2=\dfrac{1}{2^2}-2=\dfrac{1}{4}-2=-\dfrac{7}{4}$\\[4pt]
$u_3=\dfrac{1}{2^3}-3=\dfrac{1}{8}-3=-\dfrac{23}{8}$
\columnbreak
\item $u_0=\sqrt{0^2+0+1}=1$\\
$u_1=\sqrt{1^2+1+1}=\sqrt{3}$\\
$u_2=\sqrt{4^2+4+1}=\sqrt{21}$\\
$u_3=\sqrt{3^2+3+1}=\sqrt{13}$
\end{multicols}

\begin{multicols}{2}
\item $u_0=-1$\\
$u_1=\dfrac{u_0+1}{2}=\dfrac{-1+1}{2}=0$\\[4pt]
$u_2=\dfrac{u_1+1}{2}=\dfrac{0+1}{2}=\dfrac{1}{2}$\\[4pt]
$u_3=\dfrac{u_2+1}{2}=\dfrac{\frac{1}{2}+1}{2}=\dfrac{3}{4}$
\columnbreak
\item $u_0=1$\\
$u_1=(-1)^{u_0}+u_0=(-1)^1+1=0$\\
$u_2=(-1)^{u_1}+u_1=(-1)^0+0=1$\\
$u_3=(-1)^{u_2}+u_2=(-1)^1+1=0$\\
\end{multicols}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Suites arithmétiques}]
Une suite \suite{u}{n}{} est \definmot{arithmétique} s'il existe un nombre réel $r$ tel que  :
\[ \forall n\in\N,\; u_{n+1}=u_n+r\;. \]
\og $r$ \fg{} est alors appelée la \definmot{raison} de la suite.
\end{pasbox}

Autrement dit, si deux termes consécutifs diffèrent du même nombre, alors la suite est arithmétique.

\medskip

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,pluriel]
\begin{itemize}
\item La suite définie par son premier terme $u_0=1$ et par la relation de récurrence :
\[ u_{n+1}=u_n+3\] est une suite arithmétique de raison $r=3$.

\item La suite \suite{u}{n}{} dont les premiers termes sont : 
\[ 1\quad;\quad 3\quad;\quad 5\quad;\quad 7\quad;\quad 9\quad;\quad 11\quad;\quad 13\quad;\quad\ldots\]
est arithmétique car la différence entre deux termes consécutifs est toujours égale à 2. Donc ici, $r=2$ et $u_0=1$.

\item La suite \suite{u}{n}{} dont les premiers termes sont : 
\[ 1\quad;\quad 3\quad;\quad 5\quad;\quad 7\quad;\quad 10\quad;\quad 13\quad;\quad 16\quad;\quad\ldots\]
n'est pas arithmétique car : $3-1=5-3=7-5\neq 10-7$.
\end{itemize}
\end{pasbox}

Regardons maintenant ce qui se passe pour les premiers termes d'une telle suite. Considérons la suite arithmétique \suite{u}{n}{} de raison $r$. Alors :

\medskip

$u_1=u_0+r$\\
$u_{\red{2}}=u_1+r=(u_0+r)+r=u_0+\red{2}r$\\
$u_{\red{3}}=u_2+r=(u_0+2r)+r=u_0+\red{3}r$\\
$u_{\red{4}}=u_3+r=(u_0+3r)+r=u_0+\red{4}r$\\
$\vdots$

\medskip

On s'aperçoit alors de la propriété page suivante :


\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Formule explicite d'un terme d'une suite arithmétique}]
Soit \suite{u}{n}{} une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$. Alors :
\[\forall n\in\N,\; u_n=u_0+nr\;.\]
\end{pasbox}


Mais il arrive quelques fois que l'on n'ait pas le premier terme $u_0$ de la suite. Supposons que l'on connaisse le terme $u_k$, où $k\in\N$. Alors :

\medskip

$u_{k+1}=u_k+r$\\
$u_{k+\red{2}}=u_{k+1}+r=(u_k+r)+r=u_k+\red{2}r$\\
$u_{k+\red{3}}=u_{k+2}+r=(u_k+2r)+r=u_k+\red{3}r$\\
$\vdots$

\medskip

On peut donc imaginer que :
\[ \forall p\in\N,\; u_{k+p}=u_k+pr\;.\]
En posant : $n=k+p$, donc $p=n-k$, on a alors la propriété suivante :

\medskip

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Formule explicite générale d'un terme d'une suite arithmétique}]
Soit \suite{u}{n}{} une suite arithmétique de raison $r$. Alors :
\[ \forall k\in\N,\ \forall n\in\N,\; u_n=u_k+(n-k)r\;.\]
\end{pasbox}

\begin{bclogo}[logo=\bclampe, barre=snake, couleurBord=white]{Astuce}
Un moyen mnémotechnique pour ne pas se tromper dans les indices et le coefficient est de remarquer :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node (u) {$u$};
\node[draw=blue,inner sep=2pt] (n) at ($(u.south east)+(-1pt,1pt)$) {\tiny $n$};
\node[right] (uk) at (u.east) {$=u$};
\node[draw=red,inner sep=2pt] (k) at ($(uk.south east)+(-1pt,1pt)$) {\tiny $k$};
\node[right] (plus) at (uk.east) {$+$};
\node[right,draw=red] (nmk) at (plus.east) {$(n-k)$};
\node[right] (r) at (nmk.east) {$\times r$};
\draw[red,<->,>=stealth'] (k.south) -- ($(k.south)+(0,-1em)$) -- ($(nmk.south)+(0,-1em)$) node[midway,below] {$+$} -- (nmk.south);
\draw[blue,->,>=stealth'] ($(k.south)+(0,-1em)$) -- ($(n.south)+(0,-1em)$) node[midway,below] {$=$} -- (n.south);
\end{tikzpicture}

$n=k+(n-k)$
\end{center}
\end{bclogo}

\medskip

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,pluriel]
\begin{itemize}
\item  Soit la suite \suite{u}{n}{} définie par : 
\[\left\{\begin{array}{l}u_0=7\\u_{n+1}=u_n-2,\; \forall n\in\N\;.\end{array} \right.\]
La suite est donc arithmétique de premier terme $u_0=7$ et de raison $r=-2$.

Ainsi, $u_{\red{100}}=u_0+\red{100}\times(-2)=7-200=-193$.

\medskip

\item Soit la suite arithmétique \suite{u}{n}{} de raison $r=6$ et telle que $u_9=13$.

Alors, $u_{\red{100}}=u_{\textcolor{blue}{9}}+(\red{100}-\textcolor{blue}{9})\times6=13+91\times 6=559$.
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Variations d'une suite arithmétique}]
\begin{itemize}
\item Une suite arithmétique est croissante si sa raison est strictement positive.
\item Une suite arithmétique est décroissante si sa raison est strictement négative.
\item Une suite arithmétique est constante si sa raison est nulle.
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
Pour tout entier naturel $n\geqslant1$, on a :
\[ u_{n+1}-u_n = (u_n+r)-u_n=r.\]
Ainsi,
\begin{itemize}
\item si $r>0$, alors $u_{n+1}-u_n>0$ et donc $u_{n+1}>u_n$, ce qui signifie que \suite{u}{n}{} est croissante ;

\item si $r<0$, alors $u_{n+1}-u_n<0$ et donc $u_{n+1}<u_n$, ce qui signifie que \suite{u}{n}{} est décroissante ;

\item si $r=0$, alors $u_{n+1}-u_n>=0$ et donc $u_{n+1}=u_n$, ce qui signifie que \suite{u}{n}{} est constante.
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,pluriel]
\begin{itemize}
\item La suite arithmétique de raison $r=\dfrac{1}{2}$ est croissante car $r>0$.
\item La suite arithmétique de raison $r=-3$ est décroissante car $r<0$.
\end{itemize}
\end{pasbox}


\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Suites géométriques}]
Une suite \suite{v}{n}{} est \definmot{géométrique} s'il existe un réel $q$ tel que :
\[ \forall n\in\N,\; v_{n+1}=qv_n\;.\]
\og $q$ \fg{} est alors appelée la \definmot{raison} de la suite.
\end{pasbox}

Autrement dit, dans une suite géométrique, si on divise un terme par son précédent, on doit toujours obtenir le même nombre.

\medskip

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,pluriel]
\begin{itemize}
\item La suite définie par son premier terme $u_0=2$ et par la relation de récurrence :
\[ v_{n+1}=3v_n\] est une suite géométrique de raison $q=3$.

\item La suite dont les premiers termes sont :
\[ 1\quad;\quad 2\quad;\quad 4\quad;\quad 8\quad;\quad 16\quad;\quad 32\quad;\quad 64\quad;\quad 128\quad;\quad 256\quad;\quad\ldots\]
est une suite géométrique de raison $q=2$ car pour passer d'un terme à son suivant, on doit le multiplier par 2.
\end{itemize}
\end{pasbox}

Regardons maintenant ce qui se passe pour les premiers termes d'une suite géométrique \suite{v}{n}{} de raison $q$ :

\medskip

$v_1=qv_0$\\
$v_{\red{2}}=qv_1=q\times qv_0=q^{\red{2}}v_0$\\
$v_{\red{3}}=qv_2=q\times q^2v_0=q^{\red{3}}v_0$\\
$v_{\red{4}}=qv_3=q\times q^3v_0=q^{\red{4}}v_0$\\
$\vdots$

\medskip

On s'aperçoit alors de la propriété suivante :

\medskip

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Formule explicite d'un terme d'une suite géométrique}]
Soit \suite{v}{n}{} une suite géométrique de premier terme $v_0$ et de raison $q$. Alors :
\[ \forall n\in\N,\; v_n=q^nv_0\;.\]
\end{pasbox}

Cependant, il arrive que l'on n'ait pas le premier terme d'une suite géométrique. Supposons alors que l'on connaisse $v_k$, où $k$ est un entier naturel quelconque. Alors :

\medskip

$v_{k+1}=qv_k$\\
$v_{k+\red{2}}=qv_{k+1}=q\times qv_k=q^{\red{2}}v_k$\\
$v_{k+\red{3}}=qv_{k+2}=q\times q^2v_k=q^{\red{3}}v_k$\\
$v_{k+\red{4}}=qv_{k+3}=q\times q^3v_k=q^{\red{4}}v_k$\\
$\vdots$

\medskip

On peut alors conjecturer que :
\[ v_{k+p}=q^pv_k\;.\]
En posant $n=k+p$, donc $p=n-k$, on a la propriété suivante :

\medskip

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Formule explicite générale d'un terme d'une suite géométrique}]
Soit \suite{v}{n}{} une suite géométrique de raison $q$. Alors :
\[ \forall n\in\N,\ \forall k\in\N,\; v_n=q^{n-k}v_k\;.\]
\end{pasbox}


\begin{bclogo}[logo=\bclampe, barre=snake, couleurBord=white]{Astuce}
Un moyen mnémotechnique pour ne pas se tromper dans les indices et l'exposant est de remarquer que dans le membre de droite, si on ajoute l'exposant avec l'indice : $(n-k)+k$, on obtient l'indice du membre de droite ($n$).
\end{bclogo}

\bigskip

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,pluriel]
\begin{itemize}
\item \suite{v}{n}{} est la suite géométrique de premier terme $v_0=10^{-500}$ et de raison $q=10$.

Alors, $v_{\red{100}}=v_0\times q^{\red{100}}=10^{-500}\times10^{100}=10^{-400}$.

\item \suite{v}{n}{} est la suite géométrique de raison $q=\dfrac{1}{2}$ telle que $v_8=10$.

Alors, $v_{\red{100}}=v_{\textcolor{blue}{8}}\times q^{\red{100}-\textcolor{blue}{8}}=10\times\dfrac{1}{2^{92}}=\dfrac{5}{2^{91}}$.
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Variations d'une suite géométrique}]
Soit \suite{v}{n}{} une suite géométrique de raison $q$ \underline{à termes positifs}.
\begin{itemize}
\item Si $0<q<1$, alors \suite{v}{n}{} est décroissante.
\item Si $q>1$, alors \suite{v}{n}{} est  croissante.
\item Si $q=1$, \suite{v}{n}{} est constante.
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
Pour tout entier naturel $n\geqslant1$, on a :
\[ v_{n+1}-v_n=qv_n-v_n=(q-1)v_n\;.\]
Ainsi,
\begin{itemize}
\item si $0<q<1$, alors $(q-1)<0$ et comme $v_n>0$, $(q-1)v_n<0$, donc $v_{n+1}<v_n$. \suite{v}{n}{} est donc ici décroissante.
\item si $q>1$, $(q-1)>0$ et donc $v_{n+1}>v_n$. \suite{v}{n}{} est alors croissante.
\item si $q=1$, $v_{n+1}=v_n$ donc la suite \suite{v}{n}{} est constante.
\end{itemize}
\end{pasbox}


\bonus{Utiliser un tableur}

Nous allons voir ici comment utiliser un tableur pour calculer les termes consécutifs d'une suite définie par récurrence.

Considérons la suite \suite{u}{n}{} définie par :
\[
\begin{cases}
u_0=7\\
u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n-3\;.
\end{cases}
\]

Dans la colonne {\helvbx A}, nous mettrons les valeurs des indices et dans la colonne {\helvbx B}, celles des termes de la suite.

On commence alors par insérer $u_0$ :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tableur*[2]{A/1cm,B/3cm}
\celtxt[width=1cm,c]{A}{1}{n}
\celtxt[width=3cm,c]{B}{1}{u(n)}
\celtxt[width=1cm,c]{A}{2}{0}
\celtxt[width=3cm,c]{B}{2}{7}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Ensuite, on insère les formules qui nous servirons à calculer les valeurs suivantes de $n$ et $u_n$ :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tableur*[3]{A/1.5cm,B/3cm}
\celtxt[width=1.5cm,c]{A}{1}{n}
\celtxt[width=3cm,c]{B}{1}{u(n)}
\celtxt[width=1.5cm,c]{A}{2}{0}
\celtxt[width=3cm,c]{B}{2}{7}
\celtxt[width=1.5cm,c]{A}{3}{=A2+1}
\celtxt[width=3cm,c]{B}{3}{=0.5*B2-3}
\end{tikzpicture}
\end{center}

On valide et on obtient :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tableur*[3]{A/1.5cm,B/3cm}
\celtxt[width=1.5cm,c]{A}{1}{n}
\celtxt[width=3cm,c]{B}{1}{u(n)}
\celtxt[width=1.5cm,c]{A}{2}{0}
\celtxt[width=3cm,c]{B}{2}{7}
\celtxt[width=1.5cm,c]{A}{3}{2}
\celtxt[width=3cm,c]{B}{3}{0,5}
\end{tikzpicture}
\end{center}

On sélectionne maintenant les cellules {\helvbx A3} et {\helvbx B3} pour les copier vers le bas :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tableur*[5]{A/1.5cm,B/3cm}
\celtxt[width=1.5cm,c]{A}{1}{n}
\celtxt[width=3cm,c]{B}{1}{u(n)}
\celtxt[width=1.5cm,c]{A}{2}{0}
\celtxt[width=3cm,c]{B}{2}{7}
\celtxt[width=1.5cm,c]{A}{3}{2}
\celtxt[width=3cm,c]{B}{3}{0,5}
\multiSelec{A-3}{B-4}
\draw[->,>=latex] ($(cellB-3.north east)+(0.5,0)$) -- ($(cellB-4.south east)+(0.5,0)$);
\end{tikzpicture}
\end{center}

On peut alors remarquer que $u_n\approx-6$ pour $n\geqslant33$, ce qui laisse supposer que les termes de la suite se rapprochent de plus en plus de cette valeur.

\bonus{Utiliser Algobox}

Considérons la suite \suite{u}{n}{} définie par :
\[
\begin{cases}
u_0=1\\
u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n+1\;.
\end{cases}
\]

Algobox est un logiciel qui est à mi-chemin entre l'algorithme et la programmation, c'est-à-dire qu'il permet de programmer de façon assez intuitive.

\medskip


{\tocFONT\textcolor{purple}{Déclaration des variables}}

Avant tout, il faut déclarer les variables qui vont intervenir par la suite.

Nous allons ici déclarer les variables :
\begin{itemize}
\item \texttt{n} (nombre), qui va désigner l'indice ;
\item \texttt{u} (nombre), qui va désigner $u_n$.
\end{itemize}

{\tocFONT\textcolor{purple}{Début de l'algorithme}}

\medskip

Nous allons d'abord affecter la valeur \og 0 \fg{} à \texttt{n} et \og 1 \fg{} à \texttt{u} (c'est les valeurs initiales des variables).

Ensuite, on créé une boucle (avec, par exemple, 10 itérations) dans laquelle on calcule les valeurs successives des 10 termes de la suite qui suivent $u_0$.

On obtient alors :

\bigskip

\begin{minipage}{8cm}
\begin{tikzpicture}
\node[rounded corners=5pt,draw=blue,thick,fill=gray!10,inner xsep=1em,inner ysep=2em] (cadre) {%
\begin{minipage}{70mm}
\begin{ttfamily}
\Variables

\qquad n EST\_DU\_TYPE NOMBRE

\qquad u EST\_DU\_TYPE NOMBRE

\DebutAlgo

\qquad n PREND\_LA\_VALEUR 0

\qquad u PREND\_LA\_VALEUR 1

\qquad \Pour{n}{1}{10}

\qquad \DebutPour

\qquad\qquad u PREND\_LA\_VALEUR u/3+1

\qquad\qquad AFFICHER "u("

\qquad\qquad AFFICHER n

\qquad\qquad AFFICHER ")="

\qquad\qquad AFFICHER u

\qquad\FinPour

\FinAlgo
\end{ttfamily}
\end{minipage}
};
\node[rounded corners=5pt,fill=blue,text=white,right,inner xsep=1em,inner ysep=5pt] at ($(cadre.north west)+(.5,0)$) {\titreFONT Code de l'algorithme};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
\begin{tikzpicture}
\node[rounded corners=5pt,draw=blue,thick,fill=gray!10,inner xsep=1em,inner ysep=2em] (cadre) {%
\begin{minipage}{75mm}
\begin{ttfamily}
***Algorithme	lancé***

\bigskip

u(1)=1.3333333

u(2)=1.4444444

u(3)=1.4814815

u(4)=1.4938272

u(5)=1.4979424

u(6)=1.4993141

u(7)=1.4997714

u(8)=1.4999238

u(9)=1.4999746

u(10)=1.4999915

\bigskip

***Algorithme	terminé***
\end{ttfamily}
\end{minipage}
};
\node[rounded corners=5pt,fill=blue,text=white,right,inner xsep=1em,inner ysep=5pt] at ($(cadre.north west)+(.5,0)$) {\titreFONT Résultats};
\end{tikzpicture}

\vspace*{1.5em}
\end{minipage}

\bonus{Utiliser sa calculatrice}

On considère la suite définie par :

\[
\begin{cases}
u_0=1\\
u_{n+1}=-\dfrac{2}{7}u_n+4\;.
\end{cases}
\]

Pour calculer les termes de cette suite jusqu'à $u_{10}$ :

\medskip

\arrayrulecolor{purple}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*2{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
\rowcolor{purple!10}\tocFONT\color{purple} CASIO & 
\tocFONT\color{purple} TI\\
\hline
& \\
Menu : RECUR+[F3] (type)+[F2] (\texttt{an+1}) & 
MODE : Seq\\
 & \\
 Ensuite, on entre la formule : &  
 Ensuite, on entre la formule :\\
\texttt{a}$_{n+1}=-$(2/7)\texttt{a}$_n$+4 & 
\texttt{nMin=0}\\
On tape ensuite [EXE] & 
\texttt{u(n)=-(2/7)*u(n-1)+4}\\
Ensuite, on tape sur [F5] (RANG) pour paramétrer : & 
Puis, on tape sur [2nd][WINDOWS] (TBL SET) pour paramétrer :\\
\texttt{Start : 0} (on commence à $u_0$) & 
\texttt{TblStart=0} (on commence à $u_0$)\\
\texttt{End : 10} (on va jusqu'à $u_{10}$) & 
$\Delta$\texttt{Tbl=1} (on va de 1 en 1)\\
\texttt{a}$_0$\texttt{ : 1} & 
\\
Revenez à RECUR et sélectionnez la suite, puis sélectionnez TABLE [F6] pour afficher les termes. & Ensuite, [2nd][GRAPH] (TABLE) pour afficher les termes.\\
\hline
\end{tabularx}
\end{document}