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%
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\begin{document}
\chap[num=C,pos=right,color=purple]{Statistiques descriptives}{\emph{Stéphane PASQUET, \today}}


%--------------- TOC
\renewcommand{\contentsname}{\color{purple}\titreFONT\huge Sommaire}
{\color{purple}\hrulefill}
{\tocFONT\tableofcontents}
{\color{purple}\hrulefill}

\vspace*{1cm} %---------- PREREQUIS

\begin{prerequis}
\item Vocabulaire de Seconde (caractères quantitatifs)
\item Moyenne, médiane, quartiles
\end{prerequis}

\newpage %----------------- DEBUT

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Variance}]
On considère une série statistique à caractères quantitatifs discrets $\big(x_i~;n_i\big)$, $1\leqslant i\leqslant k$, de moyenne $\overline{x}$.\\
On appelle \definmot{variance} de cette série le nombre V défini par :
\[
\text{V}=\dfrac{n_1\big(\overline{x}-x_1\big)^2+ n_2\big(\overline{x}-x_2\big)^2+\cdots+n_k\big(\overline{x}-x_k\big)^2}{n_1+n_2+\cdots+n_k}=\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^k n_i\big(\overline{x}-x_i\big)^2}{\displaystyle\sum_{i=1}^k n_i}\;.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem]
On dit que la variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne $\overline{x}$.\\
Les \og écarts à la moyenne \fg{} sont les $\big(\overline{x}-x_i\big)$ ; les \og carrés des écarts à la moyenne \fg{} sont donc les $\big(\overline{x}-x_i\big)^2$. En faisant la moyenne de ces écarts, on trouve la variance.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Le tableau suivant donne les notes obtenues par des élèves de 1\iere{} S à un devoir sur les statistiques descriptives noté sur 10.
\begin{center}
\renewcommand{\arrayrulecolor}{ex}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{ex!50}}Sl|*{11}{Sc|}}
\hline
Notes ($x_i$) & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\
\hline
Effectifs ($n_i$) & 1 & 1 & 3 & 1 & 0 & 3 & 4 & 7 & 2 & 1 & 1\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
La moyenne des notes à ce devoir est :
\begin{align*}
\overline{x}&=\dfrac{0\times1+1\times1+2\times3+3\times1+\cdots+9\times1+10\times1}{1+1+3+1+0+3+4+7+2+1+1}\\
\overline{x} & =\dfrac{133}{24} \\
\overline{x} & \approx 5,542\;.
\end{align*}
On a alors le tableau suivant :

\begin{multicols}{3}
\begin{tabular}{|*3{Sc|}}
\hline\rowcolor{ex!50}
$x_i$ & $\overline{x}-x_i$ & $n_i\big(\overline{x}-x_i\big)^2$\\\hline
0	&5,542&	30,713764\\\hline
1&	4,542	&20,629764\\\hline
2&	3,542	& 37,637292\\\hline
3	&2,542	& 6,461764 \\\hline
4	&1,542	& 0\\\hline
5	&0,542&	0,881292\\\hline
\end{tabular}

\begin{tabular}{|*3{Sc|}}
\hline\rowcolor{ex!50}
$x_i$ & $\overline{x}-x_i$ & $n_i\big(\overline{x}-x_i\big)^2$\\\hline
6	&$-0,458$& 0,839056\\\hline
7&	$-1,458$	& 14,880348\\\hline
8	&$-2,458$& 12,083528\\\hline
9	&$-3,458$	& 11,957764\\\hline
10&	$-4,458$&	19,873764\\\hline
\multicolumn{2}{|Sr|}{Somme :} & 155,958336\\\hline
\end{tabular}

La variance de ce devoir est alors :
\begin{align*}
\text{V} & = \dfrac{155,958336}{24}\\
\Aboxed{\text{V} & \approx 6,498}
\end{align*}
\end{multicols}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=thm,name={Théorème de König-Huygens}]
Soit $\big(x_i~;n_i\big)$ une série statistique à caractères quantitatifs discrets de moyenne $\overline{x}$ et de\linebreak variance~V. Alors,
\[
\text{V}=\dfrac{1}{N}\sum_{i=1}^k n_ix_i^2-\overline{x}^2\qquad,\qquad N=n_1+n_2+\cdots+n_k\;.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
\vspace*{-1em}
\begin{align*}
\text{V} & = \dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^k n_i\big(\overline{x}-x_i\big)^2}{\displaystyle\sum_{i=1}^k n_i}\\
& = \dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^k n_i\big(\overline{x}^2-2\overline{x}x_i+x_i^2\big)}{\displaystyle\sum_{i=1}^k n_i}\\
& = \dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^k n_i\overline{x}^2}{\displaystyle\sum_{i=1}^k n_i}-\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^k 2\overline{x}n_ix_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^k n_i}+\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^k n_ix_i^2}{\displaystyle\sum_{i=1}^k n_i}\\
& = \dfrac{\overline{x}^2\displaystyle\sum_{i=1}^k n_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^k n_i}-\dfrac{2\overline{x}\displaystyle\sum_{i=1}^k n_ix_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^k n_i}+\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^k n_ix_i^2}{\displaystyle\sum_{i=1}^k n_i}\\
& = \overline{x}^2-2\overline{x}\times\overline{x}+\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^k n_ix_i^2}{\displaystyle\sum_{i=1}^k n_i}\\
& = \dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^k n_ix_i^2}{\displaystyle\sum_{i=1}^k n_i}-\overline{x}^2\;.\\
\end{align*}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Reprenons l'exemple précédent et ajoutons deux lignes :
\begin{center}
\renewcommand{\arrayrulecolor}{ex}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{ex!50}}Sl|*{11}{Sc|}Sl|}
\cline{1-12}
Notes ($x_i$) & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 &\multicolumn{1}{l}{}\\
\cline{1-12}
Effectifs ($n_i$) & 1 & 1 & 3 & 1 & 0 & 3 & 4 & 7 & 2 & 1 & 1 & \multicolumn{1}{l}{}\\
\cline{1-12}
$x_i^2$ & 0 & 1 & 4 & 9 & 16 & 25 & 36 & 49 & 64 & 81 & 100 & \multicolumn{1}{l}{}\\
\hline
$n_ix_i^2$ & 0 & 1 & 12 & 9 & 0 & 75 & 144 & 343 & 128 & 81 & 100 & $\rightarrow\Sigma=893$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{align*}
\text{V} & = \dfrac{893}{24}-5,54166667^2\\
\Aboxed{\text{V} & \approx 6,498}
\end{align*}
\end{pasbox}

\begin{attention}
Dans la formule du théorème de König-Huygens, il faut veiller à remplacer $\overline{x}$ par sa valeur approchée la plus précise possible.\\
En effet, dans le dernier calcul de l'exemple précédent, si j'avais remplacer $\overline{x}$ par $5,542$, j'aurais obtenu $\text{V}\approx6,495$, valeur différente de celle trouvée dans le premier calcul.
\end{attention}
\vspace*{-1.5em}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={\'Ecart-type}]
Soit $\big(x_i~;n_i\big)$ une série statistique à caractères quantitatifs discrets de variance V.\\
On appelle \definmot{écart-type} de cette série le nombre défini par :
\[
\sigma=\sqrt{\text{V}}\;.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem]
L'écart-type est un \definmot{indicateur de dispersion} : il permet de se rendre compte de la dispersion des caractères étudiés autour de la moyenne.
\begin{itemize}
\item Plus il est petit, plus les caractères sont concentrés autour de la moyenne (on dit que la série est homogène).
\item Plus il est grand, plus les caractères sont dispersés autour de la moyenne (on dit que la série est hétérogène).
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Reprenons l'exemple du devoir de la classe de 1\iere{} S où la moyenne était d'environ 5,5.\\
Nous avions trouvé que sa variance était : $\text{V}\approx6,5$. Ainsi, son écart-type est $\sigma\approx\sqrt{6,5}\approx2,5.$\\
Les notes seront donc concentrées dans l'intervalle $\intervFF{5,5-2,5}{5,5+2,5}=\intervFF{3}{8}$ (bien qu'il puisse y en avoir à l'extérieur !).
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,pluriel,name={Médiane \& quartiles (rappels) }]
Soit $\big(x_i~;n_i\big)$ une série statistique à caractères quantitatifs. Je rappelle que :
\begin{itemize}
\item La \definmot{médiane} (notée $m_e$) est la valeur du caractère pour lequel au moins \pourcent{50} des caractères lui sont inférieurs ;
\item Le \definmot{premier quartile} (notée $Q_1$) est la valeur du caractère pour lequel au moins \pourcent{25} des caractères lui sont inférieurs ;
\item Le \definmot{troisième quartile} (noté $Q_3$) est la valeur du caractère pour lequel au moins \pourcent{75} des caractères lui sont inférieurs.
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Reprenons les notes obtenues au devoir sur les statistiques de notre classe de 1\iere{} S, et ajoutons au tableau la ligne des effectifs cumulés croissants :
\begin{center}
\renewcommand{\arrayrulecolor}{ex}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{ex!50}}Sl|*{3}{Sc|}>{\columncolor{ex!20}}Sc|*2{Sc|}>{\columncolor{purple!20}}Sc|>{\columncolor{ex!20}}Sc|*3{Sc|}}
\hline
Notes ($x_i$) & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\
\hline
Effectifs ($n_i$) & 1 & 1 & 3 & 1 & 0 & 3 & 4 & 7 & 2 & 1 & 1\\
\hline
E.c.c. & 1 & 2 & 5 & 6 & 6 & 9 & 13 & 20 & 22 & 23 & 24\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{itemize}
\item \pourcent{50} de 24 est égal à 12 ; on atteint au moins 12 notes cumulées pour la note \og 6 \fg{} ; donc $m_e=6$ ;
\item \pourcent{25} de 24 est égal à 6 ; on atteint au moins 6 notes cumulées pour la note \og 3 \fg{} ; donc $Q_1=3$ ;
\item \pourcent{75} de 24 est égal à 18 ; on atteint au moins 18 notes cumulées pour la note \og 7 \fg{} ; donc $Q_3=7$ ;
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Diagramme en bo\^ite (bo\^ite à moustaches)}]
On appelle \definmot{diagramme en bo\^ite} d'une série statistique la représentation de la dispersion des caractères de la série. Elle est composée :
\begin{itemize}
\item d'un rectangle de largeur $Q_3-Q_1$ représentant ainsi l'\definmot{écart interquartile} (noté $I_Q$) ;
\item d'un segment allant de $x_\text{min}$ à $Q_1$ et d'un segment allant de $Q_3$ à $x_\text{max}$ ;
\item d'un trait vertical inclus dans le rectangle désignant la médiane.
\end{itemize}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[->,>=latex] (0,0) -- (10,0);
\draw (2,0.5) rectangle +(5,1);
\draw (0.5,1) -- (2,1);
\draw (7,1) -- (8,1);
\draw (5,0.5) -- (5,1.5);
\draw[dotted] (0.5,1) -- (0.5,0) node[below] {$x_\text{min}$};
\draw[dotted] (8,1) -- (8,0) node[below] {$x_\text{max}$};
\draw[dotted] (2,0.5) -- (2,0) node[below] (Q1) {$Q_1$};
\draw[dotted] (7,0.5) -- (7,0) node[below] (Q3) {$Q_3$};
\draw[dotted] (5,0.5) -- (5,0) node[below] {$m_e$};
\draw[decorate,decoration=brace] (Q3.south) -- (Q1.south) node[below,midway,outer ysep=5pt] {Intervalle interquartile};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Le diagramme en bo\^ite de la série des exemples précédents est :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[->,>=latex] (0,0) -- (11,0);
\foreach\x in {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
{
\draw (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below] {\x};
}
\draw (3,0.5) rectangle +(4,1);
\draw (0,1) -- (3,1);
\draw (7,1) -- (10,1);
\draw (6,0.5) -- (6,1.5);
\draw[dotted] (0,1) -- (0,0);% node[below] {$0$};
\draw[dotted] (10,1) -- (10,0);% node[below] {$10$};
\draw[dotted] (3,0.5) -- (3,0);% node[below] (Q1) {$Q_1=3$};
\draw[dotted] (7,0.5) -- (7,0);% node[below,outer ysep=0.5cm] (Q3) {$Q_3=7$};
\draw[dotted] (6,0.5) -- (6,0);% node[below] {$m_e=6$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem,name={Cas des séries à caractères quantitatifs continus}]
Dans le cas où les caractères de la série sont des intervalles (des classes), on prend pour $x_i$ le milieu de chaque classe.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Le tableau ci-dessous représente la répartition des salaires des employés dans une PME :
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{ex!50}}Sl|*5{Sc|}}
\hline
Salaires (en \euro) & \intervFO{900}{\numprint{1100}} & \intervFO{\numprint{1100}}{\numprint{1300}} & \intervFO{\numprint{1300}}{\numprint{1500}} & \intervFO{\numprint{1500}}{\numprint{1700}} & \intervFF{\numprint{1700}}{\numprint{1900}}\\
\hline
Centre des classes & \numprint{1000} & \numprint{1200} & \numprint{1400} & \numprint{1600} & \numprint{1800}\\
\hline
Effectifs & 10 & 30 & 50 & 40 & 10\\
\hline
E.c.c. & 10 & 40 & 90 & 130 & 140\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{itemize}
\item \textbf{Moyenne :} $\begin{aligned}[t]
\overline{x} & = \dfrac{\numprint{1000}\times10+\numprint{1200}\times30+\cdots+\numprint{1800}\times10}{10+30+50+40+10}\\
& = \dfrac{\numprint{198000}}{140}\\
\Aboxed{\overline{x}& \approx \numprint{1414}}
\end{aligned}$

\item \textbf{Variance :}$\begin{aligned}[t]
\text{V} & \approx \dfrac{1}{140}(10\times\numprint{1000}^2+30\times\numprint{1200}^2+\cdots+10\times\numprint{1800}^2)-\numprint{1414}^2\\
& \approx\dfrac{\numprint{286000000}}{140}-\numprint{1414}^2\\
\Aboxed{\text{V}& \approx \numprint{43461}}
\end{aligned}$

\item \textbf{\'Ecart-type :} $\begin{aligned}[t]
\sigma&\approx\sqrt{\numprint{43461}}\\
\Aboxed{\sigma & \approx208,5}
\end{aligned}$

\item \textbf{Médiane :} \pourcent{50} (soit 70) est atteint pour la classe \intervFO{\numprint{1300}}{\numprint{1500}} ; donc $m_e\in\intervFO{\numprint{1300}}{\numprint{1500}}$.\\
Soient A\coord{\numprint{1300}}{40} et B\coord{\numprint{1500}}{90} dans le repère où est tracé le polyg\^one des e.c.c. 

La droite (AB) a pour équation $y=mx+p$ où $m=\dfrac{y_\text{B}-y_\text{A}}{x_\text{B}-x_\text{A}}=\dfrac{50}{200}=\dfrac{1}{4}$.

Donc $y_\text{A}=\dfrac{1}{4}x_\text{A}+p$, soit $40=\dfrac{1}{4}\times\numprint{1300}+p$ ; ainsi, $p=-285$. 

Finalement, on a (AB) : $y=\dfrac{1}{4}x-285$. Si $y=70$ (\pourcent{50} des effectifs), alors $70=\dfrac{1}{4}x-285$, soit $x=\numprint{1420}$.

Ainsi, $\boxed{m_e=\numprint{1420}}$.
\end{itemize}
\breakbox
\begin{itemize}
\item \textbf{1\ier{} quartile :} \pourcent{25} (soit 35) est atteint pour la classe \intervFO{\numprint{1100}}{\numprint{1300}}.\\
Donc $Q_1\in\intervFO{\numprint{1100}}{\numprint{1300}}$.\\
Soient C\coord{\numprint{1100}}{10} et A\coord{\numprint{1300}}{40} dans le repère où est tracé le polyg\^one des e.c.c. 

La droite (CA) a pour équation $y=mx+p$ où $m=\dfrac{y_\text{C}-y_\text{A}}{x_\text{C}-x_\text{A}}=\dfrac{30}{200}=\dfrac{3}{20}$.

Donc $y_\text{A}=\dfrac{3}{20}x_\text{A}+p$, soit $40=\dfrac{3}{20}\times\numprint{1300}+p$ ; ainsi, $p=-155$. 

Finalement, on a (CA) : $y=\dfrac{3}{20}x-155$. Si $y=35$ (\pourcent{25} des effectifs), alors\linebreak $35=\dfrac{3}{20}x-155$, soit $x\approx\numprint{1266,67}$.

Ainsi, $\boxed{Q_1\approx\numprint{1267}}$.

\medskip

\item \textbf{3\ieme{} quartile :} \pourcent{75} (soit 105) est atteint pour la classe \intervFO{\numprint{1500}}{\numprint{1700}}.\\
Donc $Q_3\in\intervFO{\numprint{1500}}{\numprint{1700}}$.\\
Soient D\coord{\numprint{1700}}{130} et B\coord{\numprint{1500}}{90} dans le repère où est tracé le polyg\^one des e.c.c. 

La droite (BD) a pour équation $y=mx+p$ où $m=\dfrac{y_\text{D}-y_\text{B}}{x_\text{D}-x_\text{B}}=\dfrac{40}{200}=\dfrac{1}{5}$.

Donc $y_\text{B}=\dfrac{1}{5}x_\text{B}+p$, soit $90=\dfrac{1}{5}\times\numprint{1500}+p$ ; ainsi, $p=-210$. 

Finalement, on a (CA) : $y=\dfrac{1}{5}x-210$. Si $y=105$ (\pourcent{75} des effectifs), alors\linebreak $105=\dfrac{1}{5}x-210$, soit $x=\numprint{1575}$.

Ainsi, $\boxed{Q_3=\numprint{1575}}$.

\medskip

\item \textbf{Diagramme en bo\^ite :}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=0.1]
\draw[->,>=latex] (80,0) -- (200,0);
\foreach\x in {90,100,110,120,130,140,150,160,170,180,190}
{
\draw (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below,scale=0.5] {\x0};
}
\draw (126.7,0.5) rectangle (157.5,1.5);
\draw (90,1) -- (126.7,1);
\draw (157.5,1) -- (190,1);
\draw (142,0.5) -- (142,1.5);
\draw[dotted] (90,1) -- (90,0);
\draw[dotted] (190,1) -- (190,0);
\draw[dotted] (126.7,0.5) -- (126.7,0);
\draw[dotted] (157.5,0.5) -- (157.5,0);
\draw[dotted] (142,0.5) -- (142,0);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=meth,name={Analyse d'une série statistique}]
Pour analyser une série statistique, on utilise :
\begin{itemize}
\item le coupe \coord{m_e}{I_Q}, qui permet d'avoir une idée de la répartition des valeurs de la série autour de la médiane ;
\item le couple \coord{\overline{x}}{\sigma}, qui permet d'avoir une idée de la répartition des valeurs de la série autour de la moyenne.
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,pluriel]
\begin{enumerate}
\item On a représenté ci-dessous le diagramme en bo\^ite de la répartition des salaires dans deux entreprises :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=0.1]
\draw[->,>=latex] (80,0) -- (200,0);
\foreach\x in {90,100,110,120,130,140,150,160,170,180,190}
{
\draw (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below,scale=0.5] {\x0};
}
% Entreprise A
\draw (126.7,0.5) rectangle (157.5,1.5);
\draw (90,1) -- (126.7,1);
\draw (157.5,1) -- (190,1);
\draw (142,0.5) -- (142,1.5);
\node[right] at (200,1) {Entreprise A};
% Entreprise B
\draw (112,2) rectangle (167,3);
\draw (100,2.5) -- (112,2.5);
\draw (167,2.5) -- (190,2.5);
\draw (155,2) -- (155,3);
\node[right] at (200,2.5) {Entreprise B};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Nous pouvons alors voir que l'intervalle interquartile correspondant à l'entreprise B est plus grand ce celui correspondant à l'entreprise A ; les salaires de l'entreprise B sont donc plus hétérogènes que ceux de l'entreprise A.

La médiane des salaires de l'entreprise B est plus élevée que celle de l'entreprise A et correspond presque au $Q_3$ de l'entreprise A : au moins \pourcent{50} des salariés de l'entreprise B gagnent moins d'environ \numprint{1550} \euro{} alors que dans l'entreprise A, ils sont au moins \pourcent{75} à gagner moins que cette somme.

\medskip

Les salaires de l'entreprise A semblent donc ici plus homogènes que ceux de l'entreprise~B.

\bigskip

\item Dans l'entreprise $\Lambda$, la moyenne des salaires est $\overline{x}_1=\numprint{1500}$ \euro; l'écart-type est $\sigma_1=120$ \euro.

Dans l'entreprise $\Theta$, la moyenne des salaires est $\overline{x}_2=\numprint{1700}$ \euro; l'écart-type est $\sigma_2=660$~\euro.

\medskip

A priori, il fait bon travailler dans l'entreprise $\Theta$ vu que la moyenne des salaires est plus élevée que celle de l'entreprise $\Lambda$. Cependant, on remarque que l'écart-type des salaires de l'entreprise $\Theta$ est plus grand que l'autre.

Pour l'entreprise $\Lambda$, l'intervalle \intervFF{\overline{x}_1-\sigma_1}{\overline{x}_1+\sigma_1} est \intervFF{\numprint{1380}}{\numprint{1620}} ;\\
Pour l'entreprise $\Theta$, l'intervalle \intervFF{\overline{x}_2-\sigma_2}{\overline{x}_2+\sigma_2} est \intervFF{\numprint{1040}}{\numprint{2360}}.

\medskip

On constate que dans l'entreprise $\Theta$, les salaires sont plus dispersés autour du salaire moyen que dans l'entreprise~$\Lambda$.

\begin{attention}[0.5]
On ne peut rien conclure de bien constructif à partir de ces données.\\
Le fait que les salaires soient plus dispersés dans une entreprise que dans une autre ne doit pas aboutir à une conclusion précise. Les statistiques nous permettent uniquement d'avoir une vue globale d'une situation.
\end{attention}
\vspace*{-3em}
\end{enumerate}
\end{pasbox}
\end{document}