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%
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\begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\chap[num=C,pos=right,color=purple]{Probabilités : répétitions d'expériences}{\emph{Stéphane PASQUET, \today}}


%--------------- TOC
\renewcommand{\contentsname}{\color{purple}\titreFONT\huge Sommaire}
{\color{purple}\hrulefill}
{\tocFONT\tableofcontents}
{\color{purple}\hrulefill}

\vspace*{1cm} %---------- PREREQUIS

\begin{prerequis}
\item Arbre de probabilités
\item Calcul de probabilités élémentaires
\item Variable aléatoire
\item Loi de probabilité
\end{prerequis}

\newpage %----------------- DEBUT

Dans ce chapitre, je noterai :
\begin{itemize}
\item $\mathscr{E}_n$ l'expérience consistant à lancer $n$ fois une pièce équilibrée ;
\item $\mathscr{L}_n$ l'expérience consistant à lancer une pièce équilibrée pour la $n$-ième fois ;
\item P l'événement : \og On obtient Pile lors d'un lancer \fg{} ;
\item F l'événement : \og  On obtient Face lors d'un lancer \fg.
\end{itemize}

\bigskip

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Arbre pondéré}]
Un \definmot{arbre pondéré} est une représentation schématique des issues d'une expérience aléatoire.

Chaque issue est une extrémité d'un segment, que l'on appelle une \definmot{branche}, sur lequel est inscrite la probabilité de l'issue.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
L'arbre pondéré de $\mathscr{E}_1$ est :

\medskip

\begin{minipage}{4cm}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) -- (2,1) node[midway,above, outer ysep=3pt] {$\frac{1}{2}$} node[right] {P};
\draw (0,0) -- (2,-1) node[midway,below,outer ysep=3pt] {$\frac{1}{2}$} node[right] {F};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-42mm}
L'expérience mène à 2 issues : soit on obtient Pile, soit on obtient Face.

\medskip

L'événement P (tout comme l'événement F) a une probabilité égale à $\dfrac{1}{2}$ car il y a 1 chance sur 2 d'\^etre réalisé.
\end{minipage}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Expériences indépendantes}]
On dit que deux expériences sont \definmot{indépendantes} quand les issues de l'une ne sont pas les conséquences de celles de l'autre.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Si on lance deux fois de suite une pièce équilibrée, $\mathscr{L}_1$ et $\mathscr{L}_2$ sont indépendantes car le résultat obtenu la 1\iere{} fois n'influence pas celui obtenu la 2\up{nde} fois.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=nota,title={Modélisation},name={Schématisation d'une répétition d'expériences indépendantes}]
$\mathscr{E}_2$ peut \^etre schématisée par un arbre pondéré de la façon suivante :

\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[thick,red] (0,0) -- (2,1) node[midway,above, outer ysep=3pt] {$\frac{1}{2}$} node[right] (P) {P};
\draw (0,0) -- (2,-1) node[midway,below,outer ysep=3pt] {$\frac{1}{2}$} node[right] (F) {F};
\draw[thick,red] (P.east) -- ($(P.east)+(2,0.5)$) node[midway,above] {$\frac{1}{2}$} node[right] {P};
\draw (P.east) -- ($(P.east)+(2,-0.5)$) node[midway,below] {$\frac{1}{2}$} node[right] {F};
\draw (F.east) -- ($(F.east)+(2,0.5)$) node[midway,above] {$\frac{1}{2}$} node[right] {P};
\draw (F.east) -- ($(F.east)+(2,-0.5)$) node[midway,below] {$\frac{1}{2}$} node[right] {F};
\draw[<-,>=latex] (2.2,-2) -- (2.2,-2.5) node[below] {Issues de $\mathscr{L}_1$};
\draw[<-,>=latex] (4.8,-2) -- (4.8,-2.5) node[below] {Issues de $\mathscr{L}_2$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-65mm}
\textbf{Lecture du chemin rouge :}

\medskip

L'événement P a été obtenu lors du premier lancer ; ensuite, nous avons jeté la pièce et nous avons obtenu P une seconde fois.

Lors de chaque lancer, la probabilité d'obtenir P n'a pas changé ; elle est toujours égale à $\dfrac{1}{2}$.
\end{minipage}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem]
Sur l'arbre précédent, on constate qu'au final, il y a 4 issues possibles :
\begin{center}
(P~;~P)\qquad;\qquad(P~;~F)\qquad;\qquad(F~;~P)\qquad;\qquad(F~;~F).
\end{center}
On peut écrire :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) -- (2,1) node[midway,above, outer ysep=3pt] {$\frac{1}{2}$} node[right] (P) {P};
\draw (0,0) -- (2,-1) node[midway,below,outer ysep=3pt] {$\frac{1}{2}$} node[right] (F) {F};
\draw (P.east) -- ($(P.east)+(2,0.5)$) node[midway,above] {$\frac{1}{2}$} node[right] (P1) {P};
\draw (P.east) -- ($(P.east)+(2,-0.5)$) node[midway,below] {$\frac{1}{2}$} node[right] (F1) {F};
\draw (F.east) -- ($(F.east)+(2,0.5)$) node[midway,above] {$\frac{1}{2}$} node[right] (P2) {P};
\draw (F.east) -- ($(F.east)+(2,-0.5)$) node[midway,below] {$\frac{1}{2}$} node[right] (F2) {F};
\draw[->,>=latex] (P1.east) -- ($(P1.east)+(1,0)$) node[right] {(P~;~P)};
\draw[->,>=latex] (F1.east) -- ($(F1.east)+(1,0)$) node[right] {(P~;~F)};
\draw[->,>=latex] (P2.east) -- ($(P2.east)+(1,0)$) node[right] {(F~;~P)};
\draw[->,>=latex] (F2.east) -- ($(F2.east)+(1,0)$) node[right] {(F~;~F)};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop]
La probabilité d'un événement issu d'une répétition d'expériences est le produit des probabilités des événements sur le chemin qui y mène.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
La probabilité de l'événement (P~;~P) est :
\[\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}\;.\]
La probabilité des trois autres événements est aussi $\dfrac{1}{4}$. 

La somme des probabilités est bien égale à 1.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={\'Epreuve de Bernoulli}]
Une \definmot{épreuve de Bernoulli} est une expérience aléatoire à 2 issues seulement.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
$\mathscr{L}_n$ est une épreuve de Bernoulli, quelle que soit la valeur de $n$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Loi de Bernoulli}]
On considère une épreuve de Bernoulli. On note \og S \fg{} et \og E \fg{} les deux issues possibles, de probabilités respectives $p$ et $1-p$.

On note X la variable aléatoire représentant l'issue de cette expérience.

Alors, on dit que X suit la \definmot{loi de Bernoulli}, c'est-à-dire que sa loi de probabilité est donnée par le tableau :

\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{defi!20}}Sr|*2{Sc|}}
\hline
X & S & E\\
\hline
$\proba X$ & $p$ & $1-p$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem]
Les deux issues d'une épreuve de Bernoulli sont notées \og S \fg{} et \og E \fg{} en référence aux initiales des mots \og Succès \fg{} et \og Échec \fg.

En effet, il est fréquent de dire que l'une des deux issues est considérée comme un succès quand on s'y intéresse.
\end{pasbox}


\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Schéma de Bernoulli}]
Un \definmot{schéma de Bernoulli} est une répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
$\mathscr{E}_n$ est un schéma de Bernoulli pour $n\geqslant2$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Loi binomiale}]
On considère une expérience consistant à répéter $n$ fois de façon indépendante une épreuve de Bernoulli. On note $p$ la probabilité de l'événement \og S \fg.

On note alors X la variable aléatoire représentant le nombre de fois que l'on obtient \og S \fg.

On dit alors que X suit la \definmot{loi binomiale de paramètres n et p}, et on note :
\[ \text{X} \hookrightarrow \mathscr{B}\coord{n}{p}\;. \]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Un cycliste fait le m\^eme parcourt pendant trois jours pour se rendre à son travail. 

On note R l'événement : \og Le dernier feu tricolore qu'il rencontre est rouge \fg. On considère que la probabilité de cet événement est $\proba{R}=\dfrac{2}{7}$. On a alors l'arbre pondéré page suivante.
\breakbox
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
% 1
\draw[red,dashed] (0,0) -- (2,1) node[midway,above, outer ysep=3pt] {$\frac{2}{7}$} node[right] (R) {R};
\draw[dashed] (0,0) -- (2,-1) node[midway,below,outer ysep=3pt] {$\frac{5}{7}$} node[right] (V) {\evcont{R}};
% 2
\draw[red,dashed] (R.east) -- ($(R.east)+(2,0.5)$) node[midway,above] {$\frac{2}{7}$} node[right] (R1) {R};
\draw[dashed] (R.east) -- ($(R.east)+(2,-0.5)$) node[midway,below] {$\frac{5}{7}$} node[right] (V1) {\evcont{R}};
\draw[dashed] (V.east) -- ($(V.east)+(2,0.5)$) node[midway,above] {$\frac{2}{7}$} node[right] (R2) {R};
\draw (V.east) -- ($(V.east)+(2,-0.5)$) node[midway,below] {$\frac{5}{7}$} node[right] (V2) {\evcont{R}};
% 3
\draw[red] (R1.east) -- ($(R1.east)+(2,0.25)$) node[midway,above,scale=0.7] {$2/7$} node[right] {R};
\draw [dashed](R1.east) -- ($(R1.east)+(2,-0.25)$) node[midway,below,scale=0.7] {$5/7$} node[right] {\evcont{R}};
%
\draw[dashed] (V1.east) -- ($(V1.east)+(2,0.25)$) node[midway,above,scale=0.7] {$2/7$} node[right] {R};
\draw (V1.east) -- ($(V1.east)+(2,-0.25)$) node[midway,below,scale=0.7] {$5/7$} node[right] {\evcont{R}};
%
\draw[dashed] (R2.east) -- ($(R2.east)+(2,0.25)$) node[midway,above,scale=0.7] {$2/7$} node[right] {R};
\draw (R2.east) -- ($(R2.east)+(2,-0.25)$) node[midway,below,scale=0.7] {$5/7$} node[right] {\evcont{R}};
%
\draw (V2.east) -- ($(V2.east)+(2,0.25)$) node[midway,above,scale=0.7] {$2/7$} node[right] {R};
\draw (V2.east) -- ($(V2.east)+(2,-0.25)$) node[midway,below,scale=0.7] {$5/7$} node[right] {\evcont{R}};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{itemize}
\item La probabilité pour qu'il rencontre 3 fois de suite un feu rouge en dernier est :
\[ p_1=\left(\dfrac{2}{7}\right)^3\;. \]
Cela correspond au chemin rouge de l'arbre.

\medskip

\item La probabilité pour qu'il ne rencontre que deux feux rouges en dernier est :
\[ p_2=3\times\left(\dfrac{2}{7}\times\dfrac{2}{7}\times\dfrac{5}{7}\right)\;.\]
$\dfrac{2}{7}\times\dfrac{2}{7}\times\dfrac{5}{7}$ correspond au calcul de la probabilité d'obtenir 2 feux rouges et le coef-\\[4pt]-ficient \og 3 \fg{} correspond au nombre de chemins qui contiennent uniquement deux R (représentés en pointillés sur l'arbre).
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Coefficients binomiaux}]
On considère un schéma de Bernoulli où une épreuve de Bernoulli est répétée $n$ fois de façon indépendante. Soit $k$ un entier compris entre 0 et $n$.

On appelle \definmot{coefficients binomiaux} les nombres notés $\dbinom{n}{k}$ désignant le nombre de chemins contenant exactement $k$ succès sur l'arbre pondéré.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Dans l'exemple précédent, il y a 3 chemins contenant exactement 2 fois l'événement \og R \fg{} et on a $n=3$ donc :
\[ \dbinom{3}{2}=3.\]
\end{pasbox}


\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Formule}]
Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale $\mathscr{B}\coord{n}{p}$. Alors, pour tout entier $k$ compris entre 0 et $n$ :
\[
\probavar{X}{k}=\dbinom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\;.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
Si l'on veut $k$ succès, on devra multiplier $p$ par elle-m\^eme $k$ fois ; on obtient $p^k$. Comme il reste $n-k$ événements contraires, on doit multiplier aussi par $(1-p)^{n-k}$, $1-p$ étant la probabilité de l'échec.

Il n'y a pas qu'un seul chemin qui contient $k$ succès ; il y en a $\dbinom{n}{k}$. 

\medskip

Ainsi, la probabilité d'avoir $k$ succès est $p^k\times(1-p)^{n-k}\times\dbinom{n}{k}$, d'où la formule.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Représentation d'une loi binomiale}]
On représente une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ par un diagramme en b\^atons dans un repère orthogonal en mettant en abscisses les valeurs de $k$ (pour $0\leqslant k\leqslant n$) et en ordonnées les valeurs de \probavar{X}{k}.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
\begin{tikzpicture} [yscale=10,xscale=0.5]
\draw[->,>=latex] (0,0) -- (21,0) node[right] {$k$};
\draw[->,>=latex] (0,0) -- (0,0.22) node[right] {\probavar{X}{k}};
\foreach \y in {0.05,0.1,0.15,0.2}
{
\draw (0.1,\y) -- (-0.1,\y) node[left,scale=0.5] {\y};
}
\foreach \k/\p in {%
					0/0.00079792,%
					1/0.00683934,%
					2/0.02784587,%
					3/0.07160366,%
					4/0.13042096,%
					5/0.17886304,%
					6/0.19163898,%
					7/0.16426199,%
					8/0.11439675,%
					9/0.06536958,%
					10/0.03081709,%
					11/0.01200666,%
					12/0.00385928,%
					13/0.00101783,%
					14/0.00021811,%
					15/0.00003739,%
					16/0.00000501,%
					17/0.00000050,%
					18/0.00000004,%
					19/0.00000000,%
					20/0.00000000}
{
		\draw[very thick,blue] (\k,0) node[scale=0.5,below] {\k} -- (\k,\p);
}
\node[below right] at (13,0.23) {\begin{minipage}{9cm}
On a représenté ci-contre la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,3$ à l'aide du tableau de valeurs ci-dessous.
\end{minipage}};
\end{tikzpicture}

\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\begin{tabular}{|*2{Sc|}}
\hline\rowcolor{ex!20} $k$ & $\probavar{X}{k}$ \\ 
\hline 0 & 0.00079792 \\ 
\hline 1 & 0.00683934 \\ 
\hline 2 & 0.02784587 \\ 
\hline 3 & 0.07160366 \\ 
\hline 4 & 0.13042096 \\ 
\hline 5 & 0.17886304 \\ 
\hline 6 & 0.19163898 \\ 
\hline 7 & 0.16426199 \\ 
\hline 8 & 0.11439675 \\ 
\hline 9 & 0.06536958 \\ 
\hline 10 & 0.03081709 \\ 
\hline 
\end{tabular}
\end{center}

\begin{center}
\begin{tabular}{|*2{Sc|}}
\hline\rowcolor{ex!20} $k$ & $\probavar{X}{k}$ \\ 
\hline 11 & 0.01200666 \\ 
\hline 12 & 0.00385928 \\ 
\hline 13 & 0.00101783 \\ 
\hline 14 & 0.00021811 \\ 
\hline 15 & 0.00003739 \\ 
\hline 16 & 0.00000501 \\ 
\hline 17 & 0.00000050 \\ 
\hline 18 & 0.00000004 \\ 
\hline 19 & 0.00000000 \\ 
\hline 20 & 0.00000000 \\ 
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{multicols}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Espérance pour une loi binomiale},title={Propriété (admise)}]
Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale $\mathscr{B}\coord{n}{p}$. 

Alors, l'espérance de X est :
\[
\esp X = np\;.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Soit $\text{X}\hookrightarrow\mathscr{B}\coord{100}{0,2}$.

Alors, $\esp X=100\times0,2=20$.
\end{pasbox}

\bonus{Loi binomiale et calculatrices}

Construire un tableau de valeurs d'une loi de probabilité d'une variable aléatoire X suivant une loi binomiale peut s'avérer long si on le fait sans aide informatique ou électronique.

\bigskip

{\Large\titreFONT\color{purple} Algorithme}

\bigskip

\begin{algo}
\begin{algoentries}
p un nombre réel
P un nombre réel
n un nombre entier
k un nombre entier
\end{algoentries}
\begin{algobody}
Affecter à p la valeur souhaitée (probabilité de l'événement voulu)\\
Affecter à n la valeur souhaitée (nombre de répétitions de l'expérience)
\begin{algofor}{k allant de 0 à n}
Affecter à P la valeur $\dbinom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$\\
Afficher : \og \probavar{X}{k}= \fg{} \\
Afficher P
\end{algofor}
\end{algobody}
\end{algo}

\bigskip

{\Large\titreFONT\color{purple} Calcul de P(X=k) sur CASIO Graph 35+}

\bigskip

Ici, $\text{X}\hookrightarrow\mathscr{B}\coord{n}{p}$ et on cherche à calculer \probavar{X}{k} pour $0\leqslant l\leqslant n$.

\medskip

\begin{itemize}
\item Choisir dans le menu l'item \og Stat \fg{};
\item Choisit \og DIST \fg{} dans le menu du bas de la fen\^etre (touche [F5]) ;
\item Choisir \og BINM \fg{} (touche [F5]) ;
\item Choisir \og Bpd \fg{} (touche [F1]) ;
\item Choisir \og Var \fg{} (touche [F2]) ;
\item Compléter alors comme suit : \begin{tabular}{|l@{:~}l|}
\hline
Data & Variable\\
$x$ & entrer ici la valeur de $k$\\
Numtrial & entrer ici la valeur de $n$\\
$p$ & entrer ici la valeur de $p$\\
\hline
\end{tabular}
\end{itemize}

\bigskip

{\Large\titreFONT\color{purple} Calcul de P(X=k) sur TI}

\bigskip

Ici, $\text{X}\hookrightarrow\mathscr{B}\coord{n}{p}$ et on cherche à calculer \probavar{X}{k} pour $0\leqslant l\leqslant n$.

\medskip

\begin{itemize}
\item Appuyer sur les touches [2nde] puis [VAR] ;
\item Appuyer sur les touches [2nde] puis [0] (pour sélectionner le catalogue des fonctions) ;
\item Appuyer sur [Alpha] et [math] pour vous rendre directement à l'item "A" (ou "0") : la fonction s'appelle \og ddpbinom \fg{}  (ou \og binompdf \fg) ;
\item Les paramètres à rentrer sont : \texttt{ddpbinom(n,p,k)} dans cet ordre.
\end{itemize}

\bigskip

{\large\titreFONT\color{purple} Calcul automatisé de toutes les valeurs de P(X=k) sur CASIO Graph 35+}

\bigskip

\begin{itemize}
\item Avant tout, on entre les valeurs prises par $k$ :
\begin{itemize}
\item Choisir dans le menu l'item \og Run \fg{} ;
\item Taper l'instruction : \texttt{Seq(n,n,0,<valeur de n>,1) $\rightarrow$ List 1} puis appuyer sur la touche [EXE].\\
\og \texttt{List} \fg{} s'affiche en appuyant sur [OPTN]+[F1]+[F1].
\end{itemize}
\item Ensuite, on construit le tableau de valeurs :
\begin{itemize}
\item Choisir dans le menu l'item \og Stat \fg{} ;
\item Saisir dans la colonne 1 (List 1) les valeurs prises par $k$ : 0, 1, 2, ..., $n$ ;
\item Choisir DIST (touche [F5]) puis BINM (touche [F5]) ;
\item Choisir Bpd ([F1]) et List ([F1]) ;
\item Compléter alors la fen\^etre comme ceci : \begin{tabular}{|l@{:~}l|}
\hline
Data & List\\
List & List1\\
Numtrial & valeur de n\\
$p$ & valeur de $p$\\
\hline
\end{tabular}
\item Sélectionner \og Execute \fg{} et appuyer sur la touche [EXE].
\end{itemize}
\end{itemize}

\bigskip

{\large\titreFONT\color{purple} Calcul automatisé de toutes les valeurs de P(X=k) sur TI}

\bigskip

\begin{itemize}
\item Appuyer sur la touche [$f(x)$] ;
\item En face de Y1, écrire : \texttt{binomFdp(<valeur de n>,<valeur de p>,X)} ;
\item Appuyer sur [2nde] + [fen\^etre] (def. table) et régler les paramètres comme ceci : \begin{tabular}{|l|}
\hline
DébTable = 0\\
PasTable = 1\\
Valeurs : Auto\\
Calculs : Auto\\
\hline
\end{tabular}
\item Ensuite, afficher la table des valeurs ([2nde]+[Graphe])
\end{itemize}

\end{document}