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%
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\begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\chap[num=C,pos=right,color=purple]{\'Echantillonnage}{\emph{Stéphane PASQUET, \today}}


%--------------- TOC
\renewcommand{\contentsname}{\color{purple}\titreFONT\huge Sommaire}
{\color{purple}\hrulefill}
{\tocFONT\tableofcontents}
{\color{purple}\hrulefill}

\vspace*{1cm} %---------- PREREQUIS

\begin{prerequis}
\item Intervalle de fluctuation (classe de Seconde)
\item Loi binomiale
\end{prerequis}

\newpage %----------------- DEBUT

\begin{pasbox}[degrade,style=nota,title={Définition du problème}]
On dispose d'un dé cubique. On souhaite vérifier si ce dé est pipé ou non.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Intervalle de fluctuation (rappel)}]
On considère un échantillon de taille $n\geqslant25$ dans lequel on observe un caractère précis dont la probabilité observée sur toute une population est $p$ ($0,2\leqslant p\leqslant0,8$).

La fréquence $f$ du caractère observé est telle que :
\[
f\in\intervFF{p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}}{1+\dfrac{1}{\sqrt{n}}}\;.
\]
\end{pasbox}

Ainsi, en lançant notre dé 100 fois (par exemple) et en observant la fréquence d'apparition de la face \og 1 \fg{} (par exemple), si cette fréquence est dans l'intervalle de fluctuation, nous pouvons considérer que le dé n'est pas pipé.

\bigskip

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Supposons que la fréquence d'apparition de la face \og 1 \fg{} est $f=\dfrac{21}{100}=0,21$.

L'intervalle de fluctuation est :
\[
I=\intervFF{\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{\sqrt{100}}}{\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{\sqrt{100}}}\approx\intervFF{0,067}{0,267}\;.
\]
$f\in I$ donc nous pouvons considérer que le dé n'est pas pipé.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Intervalle de fluctuation de fréquences aléatoires}]
Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale $\mathscr{B}\coord{n}{p}$. On considère alors la variable aléatoire $\text{F}=\dfrac{\text{X}}{n}$ représentant la fréquence (aléatoire) du succès.

Un \definmot{intervalle de fluctuation de F} au seuil de \pourcent{95} est un intervalle de la forme $\intervFF{\dfrac{a}{n}}{\dfrac{b}{n}}$ tel que $\text{P}\left(\dfrac{a}{n}\leqslant\text{F}\leqslant\dfrac{b}{n}\right)\geqslant0,95$, ce qui équivaut à $\text{P}(a\leqslant\text{X}\leqslant b)\geqslant0,95$, avec $0\leqslant a\leqslant n$ et $0\leqslant b\leqslant n$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=meth,name={Trouver un intervalle convenable}]
Dans la pratique, on cherchera $a$ et $b$ tels que :
\begin{itemize}
\item $a$ est le plus petit entier tel que $\probavar[\leqslant]{X}{a}>\pourcent{2,5}$ ;
\item $b$ est le plus petit entier tel que $\probavar[\leqslant]{X}{b}\geqslant\pourcent{97,5}$.
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Prise de décision}]
\begin{itemize}
\item Si la fréquence du caractère observé n'est pas dans l'intervalle de fluctuation au seuil de \pourcent{95} de la fréquence aléatoire correspondante, on dit que l'on \definmot{rejette l'hypothèse} ;

\item Si la fréquence du caractère observé est dans l'intervalle de fluctuation au seuil de \pourcent{95} de la fréquence aléatoire correspondante, on dit que l'on \definmot{ne rejette pas l'hypothèse}.
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Dans une usine de composants électroniques, les statistiques permettent de dire que la probabilité qu'un certain circuit imprimé soit défaillant est égale à \numprint{0,012}.

Pour vérifier la production, le chef de production décide de prendre au hasard 100 circuits imprimés à l'issue d'une cha\^ine de montage. 

Notons X la variable aléatoire représentant le nombre de circuits imprimés défaillants. X suit bien une loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=\numprint{0,012}$.

\medskip

\`A l'aide d'un logiciel, on construit la table suivante :

\medskip

\begin{minipage}{7cm}
\def\bkcolor{ex!20}
\def\fstlinecolor{blue!40}
\def\txtfstlinecolor{blue!50!black}
\def\bordercolor{ex}
\begin{echantillon}
build("tableau1","min",[100,0.012,0,10])
\end{echantillon}

\input{tableau1}
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-7.2cm}
On voit ci-contre que :
\begin{itemize}
\item $\probavar[\leqslant]{X}{0}>0,025$. Par conséquent, $a=0$ ;

\medskip

\item $\probavar[\leqslant]{X}{3}<0,975$ et $\probavar[\leqslant]{X}{4}\geqslant0,975$ donc $b=4$.
\end{itemize}

Par conséquent, un intervalle de fluctuation de la fréquence aléatoire au seuil de \pourcent{95} est :
\[
I=\intervFF{\dfrac{0}{100}}{\dfrac{4}{100}}=\intervFF{0}{0,04}\;.
\]
Ainsi, s'il y a plus de \pourcent{4} de circuits imprimés défaillants parmi ceux pris au hasard, le chef de production pourra conclure que la cha\^ine de production devra \^etre stoppée.
\end{minipage}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem]
Dans un tableau, pour construire une table comme dans l'exemple ci-dessus, on commencera par entrer \og 0 \fg{}  dans la cellule \texttt{A1} puis la formule suivante dans \texttt{B1} afin de la copier dans la colonne \texttt{B} :
\begin{center}
\texttt{=LOI.BINOMIALE(A1;<valeur de n>;<valeur de p>;1)}
\end{center}
\end{pasbox}
\end{document}