\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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\author{pour Hugo}
\title{Interrogation d'entraînement sur le second degré}
\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{document}
\maketitle
\paragraph*{Exercice 1.}\hfill\emph{20 minutes}

Pour chacun des polynômes suivants,
\begin{itemize}
\item résoudre l'équation $P(x)=0$ ;
\item quand cela est possible, factoriser $P(x)$ ;
\item résoudre l'inéquation $P(x)\geqslant0$.
\end{itemize} 
\begin{enumerate}
\item $P(x)=2x^2-16x+30$ % 2 racines
\item $P(x)=8x^2-3x+1$
\item $P(x)=-\dfrac{1}{2}x^2+6x-18$%=-\dfrac{1}{2}(x-6)^2=
\end{enumerate}

\paragraph*{Exercice 2.}\hfill\emph{15 minutes}

Associer les fonctions suivantes aux paraboles ci-dessous, puis donner la forme canonique de chacune d'elles.
\begin{align*}
f(x)=-x^2+x+2 & &g(x)=\dfrac{1}{4}x^2-x-1\\[6pt]
h(x)=-\dfrac{1}{2}x^2+2x+2 & &k(x)=\dfrac{1}{2}x^2-2x-2
\end{align*}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex,scale=0.5,every node/.style={scale=0.75}]
\draw[dotted] (-5,-5) grid (5,5);
\draw[very thick,->] (-5,0) -- (5,0);
\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,5);
\draw[very thick] (1,0.2) -- (1,-0.2) node[below,fill=white] {1};
\draw[very thick] (0.2,1) -- (-0.2,1) node[left,fill=white] {1};
\clip (-5,-5) rectangle (5,5);
\draw[very thick] plot[domain=-5:5,samples=100] (\x,{-0.5*\x*\x+2*\x+2});
\node[scale=1.5,fill=white] at (-3.2,-4) {${\cal C}_1$};
\end{tikzpicture}
\qquad
\begin{tikzpicture}[>=latex,scale=0.5,every node/.style={scale=0.75}]
\draw[dotted] (-5,-5) grid (5,5);
\draw[very thick,->] (-5,0) -- (5,0);
\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,5);
\draw[very thick] (1,0.2) -- (1,-0.2) node[below,fill=white] {1};
\draw[very thick] (0.2,1) -- (-0.2,1) node[left,fill=white] {1};
\clip (-5,-5) rectangle (5,5);
\draw[very thick] plot[domain=-5:5,samples=100] (\x,{0.25*\x*\x-1*\x-1});
\node[scale=1.5,fill=white] at (-4,3) {${\cal C}_2$};
\end{tikzpicture}

\medskip

\begin{tikzpicture}[>=latex,scale=0.5,every node/.style={scale=0.75}]
\draw[dotted] (-5,-5) grid (5,5);
\draw[very thick,->] (-5,0) -- (5,0);
\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,5);
\draw[very thick] (1,0.2) -- (1,-0.2) node[below,fill=white] {1};
\draw[very thick] (0.2,1) -- (-0.2,1) node[left,fill=white] {1};
\clip (-5,-5) rectangle (5,5);
\draw[very thick] plot[domain=-5:5,samples=100] (\x,{0.5*\x*\x-2*\x-2});
\node[scale=1.5,fill=white] at (-3,3) {${\cal C}_3$};
\end{tikzpicture}
\qquad
\begin{tikzpicture}[>=latex,scale=0.5,every node/.style={scale=0.75}]
\draw[dotted] (-5,-5) grid (5,5);
\draw[very thick,->] (-5,0) -- (5,0);
\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,5);
\draw[very thick] (1,0.2) -- (1,-0.2) node[below,fill=white] {1};
\draw[very thick] (0.2,1) -- (-0.2,1) node[left,fill=white] {1};
\clip (-5,-5) rectangle (5,5);
\draw[very thick] plot[domain=-5:5,samples=100] (\x,{-\x*\x+\x+2});
\node[scale=1.5,fill=white] at (-3.2,-4) {${\cal C}_4$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\newpage

\paragraph*{Exercice 3.}\hfill\emph{15 minutes}

Une entreprise de fabrication de montres estime que ses coûts de fabrication mensuels peuvent être représentés par la fonction $C$ définie sur \intervFO{0}{+\infty} par :
\[
C(q)=-0,2q^2+1,2q+2\;,
\]
où $q$ est exprimé en dizaines et $C(q)$ en milliers d'euros.

L'entreprise vend 1 montre à 30 \euro. On appelle $CA$ la fonction définie sur \intervFO{0}{+\infty} représentant le chiffre d'affaire de cette entreprise, $CA$ étant exprimé en milliers d'euros.

\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi $CA(q)=0,3q$.

\item Tracer à la calculatrice les fonctions $C$ et $CA$, puis donner une estimation de l'abscisse du point d'intersection (arrondie au dixième) des deux courbes représentatives.

\item Calculer une valeur approchée du nombre de montres que l'entreprise doit vendre afin de réaliser un bénéfice.
\end{enumerate}

\paragraph*{Exercice 4.}\hfill\emph{15 minutes}

On considère le polynôme $P$ suivant :
\[
P(x)=10x^3+9x^2-13x-6.
\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que $1$ est une racine de $P(x)$.
\item On peut alors écrire $P(x)$ sous la forme factorisée : $P(x)=(x-1)(ax^2+bx+c)$.
\begin{enumerate}
\item Développer cette expression factorisée et montrer que l'on obtient : 
\[ P(x)=ax^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c.\]
\item Identifier alors les coefficients de chaque terme en $x^n$, puis en déduire les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
\end{enumerate}
\item Déterminer une factorisation de $P(x)$ comme produit de trois polynômes de degré 1 dont les coefficients sont tous entiers.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\Huge Correction
\end{center}

\paragraph*{Exercice 1.}
\begin{enumerate}
\item $P(x)=2x^2-16x+30$.

Le discriminant de ce polynôme est :
\begin{align*}
 \Delta & =b^2-4ac\\
 & = (-16)^2-4\times2\times30\\
 & = 16>0
\end{align*}
donc $P$ admet deux racines distinctes :
\[
x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{16-\sqrt{16}}{2\times2}=3
\]
et
\[
x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{16+\sqrt{16}}{2\times2}=5.
\]
\underline{Les solutions de l'équation $P(x)=0$ sont donc $x=3$ et $x=5$.}

\medskip

D'après le cours, si $ax^2+bx+c$ admet deux racines distinctes $x_1$ et $x_2$, alors il se factorise sous la forme $a(x-x_1)(x-x_2)$.

\underline{Ainsi, $P(x)=2(x-3)(x-5)$.}

\medskip

De plus, toujours d'après le cours, si $P(x)=ax^2+bx+c$ admet deux racines distinctes, alors $P(x)$ est du signe de $a$ à l'extérieur des racines. Donc ici, $P(x)\geqslant0$ est positif pour $x\in\intervOF{-\infty}{3}\cup\intervFO{5}{+\infty}$.

\underline{L'ensemble solution de l'inéquation $P(x)\geqslant0$ est donc $\intervOF{-\infty}{3}\cup\intervFO{5}{+\infty}$.}

\bigskip

\item $P(x)=8x^2-3x+1$. $\Delta=(-3)^2-4\times8\times1=-23<0$ donc $P$ n'admet \underline{aucune racine} ni \underline{aucune factorisation}.

De plus, il est toujours du signe de $a$, soit ici positif. 

\underline{Donc l'ensemble solution de l'inéquation $P(x)\geqslant0$ est $\R$.}

\bigskip

\item $P(x)=-\dfrac{1}{2}x^2+6x-18$. $\Delta=6^2-4\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)\times(-18)=0$.

Donc $P$ admet une racine double $x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{6}{-1}$ soit \underline{$x_0=6$}.

Il se factorise alors sous la forme : $\boxed{P(x)=-\dfrac{1}{2}(x-6)^2}$ car d'après le cours, si $x_0$ est l'unique racine de $P(x)=ax^2+bx+c$, alors $P(x)=a(x-x_0)^2$.

De plus, il est toujours du signe de $a$ donc l'ensemble solution de l'inéquation $P(x)\geqslant0$ est ici \underline{$\mathcal{S}=\varnothing$} car $a<0$.
\end{enumerate}

\paragraph*{Exercice 2.}
\begin{itemize}
\item $f(0)=2$, ce qui élimine ${\cal C}_2$ (car son point d'intersection avec l'axe des ordonnées est $-1$, et non 2) et ${\cal C}_3$.

On voit de plus que ${\cal C}_4$ coupe l'axe des abscisses en $x=2$, et $f(2)=-4+2+2=0$ donc ${\cal C}_4$ correspond bien à $f$.

\medskip

La forme canonique de $f(x)$ est $a(x-\alpha)^2+\beta$, où $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ donc ici, $\alpha=-\dfrac{1}{-2}=\dfrac{1}{2}$ et $\beta=f(\alpha)=-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}+2=-\dfrac{1}{4}+\dfrac{5}{2}=\dfrac{9}{4}$.

La forme canonique de $f(x)$ est $\boxed{f(x)=-\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{9}{4}}$.

\medskip

\item $g(0)=-1$ donc seule ${\cal C}_2$ peut correspondre à $g$.

On voit que l'axe de symétrie de la courbe est $\alpha=2$ et que le minimum est $\beta=-2$ donc la forme canonique de $g(x)$ est $\boxed{g(x)=\dfrac{1}{4}(x-2)^2-2}$.

\medskip

\item $h(0)=2$ donc ${\cal C}_1$ correspond à $h$.

L'axe de symétrie de la courbe est $\alpha=2$ et le maximum est $\beta=4$ donc $\boxed{h(x)=-\dfrac{1}{2}(x-2)^2+4}$.

\item Il ne reste plus que ${\cal C}_3$ pour $k$ ($k(0)=-2$ donc on ne se trompe pas).

L'axe de symétrie de la courbe est $\alpha=2$ et le minimum est $\beta=-4$ donc $\boxed{k(x)=\dfrac{1}{2}(x-2)^2-4}$.
\end{itemize}

\paragraph*{Exercice 3.}
\begin{enumerate}
\item Le prix d'une montre est 30 \euro. Ainsi, pour 10 montres, l'entreprise gagnera 300 \euro, et donc $q$ dizaines de montres rapporteront 300$q$ \euro. $CA$ étant exprimé en milliers d'euros, on divise ce dernier résultat par \numprint{1000} et on obtient :
\[ CA(q)=\dfrac{300q}{\numprint{1000}}=0,3q.\]

\item À la calculatrice, on trace la courbe représentative des deux fonctions $C$ et $CA$ :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex]
\draw[->,thick] (0,0) -- (8,0);
\draw[->,thick] (0,0) -- (0,4);
\foreach\x in {1,2,3,4,5,6,7}{\draw[thick] (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below] {\x};}
\foreach\y in {-1,1,2,3}{\draw[thick] (0.1,\y) -- (-0.1,\y) node[left] {\y};}
\node[below left] at (0,0) {0};
\clip (0,0) rectangle (8,4);
\draw[thick] plot[domain=0:7,samples=100] (\x,{-0.2*\x*\x+1.2*\x+2});
\draw[thick] plot[domain=0:7,samples=100] (\x,{0.3*\x});
\node[right] at (7,.5) {$C$};
\node[right] at (7,2.5) {$CA$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
On peut donc estimer à environ 6,1 l'abscisse du point d'intersection des deux courbes.

\item Pour que l'entreprise réalise un bénéfice, il faut que $CA(q)>C(q)$.
\begin{align*}
CA(q)>C(q) & \iff 0,3q > -0,2q^2+1,2q+2\\
					 & \iff -0,2q^2+1,2q-0,3q+2<0\\
					 & \iff -0,2q^2+0,9q+2<0.
\end{align*}
Le discriminant du polynôme $-0,2q^2+0,9q+2$ est :
\[
\Delta=0,9^2-4\times(-0,2)\times2=2,41 \]
donc il admet deux racines distinctes :
\[
q_1=\dfrac{-0,9-\sqrt{2,41}}{-0,4}\approx6,13
\]
et
\[
q_2=\dfrac{-0,9+\sqrt{2,41}}{-0,4}\approx-1,63\text{ (ce qui ne nous intéresse pas car étantg négatif)}.
\]
$q_1$ correspond à plus de 61 montres donc l'entreprise réalise un bénéfice lorsqu'elle vend au moins 62 montres.
\end{enumerate}

\paragraph*{Exercice 4.}
\begin{enumerate}
\item $P(1)=10\times1^3+9\times1^2-13\times1-6=19-19=0$.

Donc $1$ est bien une racine de $P$ (car son image est égale à 0).

\item
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
 & (x-1)(ax^2+bx+c)\\
=\ & ax^3+bx^2+cx-ax^2-bx-c & \text{(on utilise la distributivité)}\\
=\ & ax^3+bx^2-ax^2+cx-bx-c & \text{(on regroupe les termes de même degré)}\\
=\ & ax^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c & \text{(on regroupe les coefficients)}
\end{aligned}$

\item On doit donc avoir pour tout réel x : 
\[ P(x)=10x^3+9x^2-13x-6=ax^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c\]
soit :
\[
\begin{cases}
10&=a\\
9&=b-a\\
-13&=c-b\\
-6&=-c
\end{cases}
\]
On en déduit donc que $a=10$ (première équation) et $c=6$ (dernière équation).

Ainsi, de la deuxième équation, on peut écrire $9=b-10$, soit $b=9+10=19$.

\medskip

\underline{Finalement, $P(x)=(x-1)(10x^2+19x+6)$.}
\end{enumerate}

\item Le discriminant du polynôme $10x^2+19x+6$ est :
\[
\Delta=19^2-4\times10\times6=121=11^2
\]
donc il admet deux racines distinctes :
\[
x_1=\dfrac{-19-11}{2\times10}=-\dfrac{3}{2}
\]
et
\[
x_2=\dfrac{-19+11}{20}=-\dfrac{2}{5}.
\]
Ainsi, $10x^2+19x+6=\left(x+\dfrac{3}{2}\right)\left(x+\dfrac{2}{5}\right)=(2x+3)(5x+2)$.

\medskip

\underline{Finalement, $P(x)=(x-1)(2x+3)(5x+2)$.}
\end{enumerate}
\end{document}