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\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{document}

\paragraph*{Exercice 1 (nombres complexes)}~\par 

\bigskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormé \Ruv.

\medskip

On considère les points A et B d'affixes respectives $a=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\i$ et $b=3-\i$.

\medskip

On définit alors pour tout entier naturel $n$ la suite \suite{z}{n}{} par :
\[
z_0=a\qquad ; \qquad z_{n+1}=az_n+b
\]
\begin{enumerate}
\item \'Ecrire $a$ sous la forme exponentielle.
\end{enumerate}

\bigskip

Pour tout entier naturel $n$, on définit la suite \suite{u}{n}{} par :
\[
u_n=z_n-4-2\i
\]

\begin{enumerate}[start=3]
\item Montrer que \suite{u}{n}{} est géométrique.\\ Préciser alors sa raison et son premier terme.
\item Exprimer $u_n$ puis $z_n$ en fonction de $n$.
\item Quelle est la limite de \suite{z}{n}{} ?
\end{enumerate}

\paragraph*{Exercice 2 (probabilités)}~\par 

\bigskip

\emph{On donnera les valeurs approchées des probabilités à 0,001 près.}

\medskip

Lors d'un jeu télévisé, un candidat doit choisir au hasard un des trois thèmes proposés : Littérature, Sciences et Culture générale.

Il sait que la probabilité de répondre correctement à une question du thème choisi est égale à :

\begin{itemize}
\item 0,4 si le thème est \og Littérature \fg{} ;
\item 0,9 si le thème est \og Sciences \fg{} ;
\item 0,5 si le thème est \og Culture générale \fg.
\end{itemize}

On note :
\begin{itemize}
\item L l'événement : \og le candidat choisit le thème Littérature \fg{} ;
\item S l'événement : \og le candidat choisit le thème Sciences \fg{} ;
\item C l'événement : \og le candidat choisit le thème Culture générale \fg{} ;
\item R l'événement : \og le candidat répond correctement à la question \fg.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\proba{R}=0,6$.
\item Le candidat répond correctement à la question. Quelle est la probabilité qu'il ait choisi le thème \og Sciences \fg{} ?
\item Sur cinq questions, quelle est la probabilité qu'il réponde correctement à au moins 3 d'entre elles ?
\end{enumerate}

\newpage

\paragraph*{Exercice 3 (étude de fonction)}~\par 

\bigskip

\begin{center}
\bfseries Partie A
\end{center}
On considère la fonction $g$ définie sur $\intervOO{0}{+\infty}$ par :
\[
g(x)=\ln x-\dfrac{1}{x}
\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que $g$ est strictement croissante.
\item Calculer $\limite{x}{0}{g(x)}$ et $\limite{x}{+\infty}{g(x)}$.
\item Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution notée $\alpha$ dans l'intervalle $\intervFF{1}{2}$.
\item En déduire le signe de $g(x)$ sur $\intervOO{0}{+\infty}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\bfseries Partie B
\end{center}
On considère la fonction $f$ définie sur $\intervOO{0}{1}\cup\intervOO{1}{+\infty}$ par :
\[
f(x)=\dfrac{\e^x}{\ln x}
\]
\begin{enumerate}
\item Calculer les limites de $f(x)$ aux bornes de son domaine de définition.
\item Montrer que $f'(x)$ est du même signe que $g(x)$, puis en déduire les variations de $f$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\bfseries Partie C
\end{center}

On considère la suite \suite{u}{n}{} définie pour tout entier naturel $n$ par :
\[
u_0=\alpha\qquad;\qquad u_{n+1}=f(u_n)
\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que $u_1=\alpha\e^\alpha$, puis que $u_1>u_0$.
\item Montrer par récurrence que \suite{u}{n}{} est strictement croissante.
\item Démontrer que $\limite{n}{+\infty}{u_n}=+\infty$.
\end{enumerate}

\end{document}