\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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\begin{document}
\paragraph*{Exercice 1.} Pour tout entier naturel $n$, on considère la fonction $f_n$ définie pour tout réel $x$ strictement positif par:
\[
f_n(x)=x^n\ln(x)-x.
\]
L'objectif de cet exercice est de démontrer que $f_n$ admet un minimum pour une même valeur de $x$, quel que soit l'entier $n$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f_n^\prime(x)=x^{n-1}(n\ln(x)+1)-1$.
\item On admet que la dérivée de $f_n^\prime(x)$ est:
\[
f_n''(x)=x^{n-2}\big[n(n-1)\ln(x)+2n-1\big].
\]
\begin{enumerate}
\item \'Etudier le signe de $f_n''(x)$ sur \intervOO{0}{+\infty} en fonction de $n$, puis en déduire les variations de $f_n^\prime$ sur \intervOO{0}{+\infty}.
\item Calculer $f_n^\prime(1)$, puis en déduire les variations de $f_n(x)$ sur \intervOO{0}{+\infty}.
\item En déduire que $f_n(x)$ admet un minimum pour une unique valeur de $x$, quelle que soit la valeur de $n$. 

Que vaut ce minimum ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\paragraph*{Exercice 2.} Le plan complexe est muni d'un repère \Ruv.

On considère les points $A_n$ d'affixe $z_n$ où, pour tout entier naturel $n$,
\[
\begin{cases}
z_0&=1+\i\\
z_{n+1}&=\dfrac{1}{2}\i z_n+1
\end{cases}
\]
\begin{enumerate}
\item Calculer $z_1$, puis $|z_1|$ et $\arg(z_1)$.
\item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, 
\[
z_n=\dfrac{1}{5}\left[4+2\i+(1+3\i)\left(\frac{1}{2}\i\right)^n\right].
\]
\item En déduire que pour tout entier naturel $n$,
\[
|z_n| \leqslant \dfrac{1}{5}\big(2\sqrt5+\sqrt{10}\big).
\]
Comment peut-on interpréter ce dernier résultat géométriquement ?
\end{enumerate}

\newpage

\paragraph*{Exercice 3.} On considère la fonction $f$ définie sur $\R\setminus\{\ln2\}$ par:
\[
f(x)=\dfrac{\e^{2x}-1}{\e^x-2}.
\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f(x)=\e^x+2+\dfrac{3}{\e^x-2}$.
\item Calculer $\limite{x}{-\infty}{f(x)}$ et $\limite{x}{+\infty}{f(x)}$.
\item Calculer $\limite[x<\ln2]{x}{\ln2}{f(x)}$ et $\limite[x>\ln2]{x}{\ln2}{f(x)}$.
\item Montrer que $f'(x)=\dfrac{\e^x\big(\e^{2x}-4\e^{x}+1\big)}{\big(\e^x-2\big)^2}$.
\item En déduire les variations de $f$.
\item Déterminer une valeur approchée au millième du réel $a$ telle la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a$ soit parallèle à la droite d'équation $y=5x$.

\textit{Vous expliquerez votre démarche.}
\end{enumerate}
\end{document}