%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[10pt,french]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{pas-math}
\usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage{tikz}
\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{document}
\paragraph*{Exercice 1.} On considère le polynôme complexe:
\[P(z)=z^3-\i z^2-\i z-1-\i.\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\alpha=1+\i$ est une racine de $P$.
\item En déduire la valeur des nombres $a$, $b$ et $c$ tels que:
\[
P(z)=(z-\alpha)(az^2+bz+c).
\]
\item Résoudre dans \C l'équation $z^2+z+1=0$.
\item En déduire les solutions de l'équation $P(z)=0$. 
\end{enumerate}

\paragraph*{Exercice 2.} On considère les deux nombres complexes:
\[
z_1 = 2\left[ \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) + \i\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) \right]\qquad\text{et}\qquad z_2=-\sqrt2+\i\sqrt2.\]
On pose alors:
\[
Z = \dfrac{z_1}{z_2}.
\]
\begin{enumerate}
\item Donner la forme algébrique de $z_1$.
\item Donner la forme trigonométrique, puis exponentielle de $z_2$.
\item Donner la forme algébrique de $(z_1)^6$.

En déduire que pour tout entier naturel $n$, $(z_1)^{6n}$ est un réel.

\item Montrer que $z_1z_2$ est un imaginaire pur.

\item 
\begin{enumerate}
\item Calculer $|Z|$ et déterminer un argument de $Z$ à $2\pi$ près.
\item Déterminer la forme algébrique de $Z$.
\item En déduire la valeur exacte de $\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\paragraph*{Exercice 3.} Soit $z$ un nombre complexe quelconque. On pose alors:
\[
z' = \dfrac{z^2+\overline{z}^2}{2}.
\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que $z'\in\R$, quel que soit le nombre complexe $z$.
\item Comment choisir $z$ pour que $z'=0$ ?
\end{enumerate}

\paragraph*{Exercice 4.} On pose $z_1=\e^{\i\theta_1}$ et $z_2=\e^{\i\theta_2}$.
\begin{enumerate}
\item Donner la forme algébrique de $z_1z_2$.
\item Donner la forme trigonométrique de $z_1z_2$.
\item En déduire une formule permettant de calculer $\cos(\theta_1+\theta_2)$ en fonction de $\cos\theta_1$, $\cos\theta_2$, $\sin\theta_1$ et $\sin\theta_2$.
\end{enumerate}
\end{document}