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\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{document}
\paragraph*{Antilles-Guyanne, septembre 2017 (3 points)}
~\par 
Soit la suite de nombres complexes $\left(z_n\right)$ définie par:
\[\left\{\begin{array}{l c l}
z_0& =& 100\\
z_{n+1}& =&\dfrac{\text{i}}{3}z_n\quad \text{ pour tout entier naturel }\:n.
\end{array}\right.\]

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct \Ruv.

Pour tout entier naturel $n$, on note $M_n$ le point d'affixe $z_n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, les points O, $M_n$ et $M_{n+2}$ sont alignés.
\item On rappelle qu'un disque de centre A et de rayon $r$, où $r$ est un nombre réel positif, est l'ensemble des points $M$ du plan tels que $\text{A}M \leqslant r$.

Démontrer que, à partir d'un certain rang, tous les points $M_n$ appartiennent au disque
de centre O et de rayon 1.
\end{enumerate}

\paragraph*{Pondichéry 2017 (3 points)}~\par

On munit le plan complexe d'un repère orthonormé direct \Ruv. 

\medskip 

\begin{enumerate}
\item On considère l'équation 

\[(E) :\qquad  z^2 - 6z + c = 0\]

où $c$ est un réel strictement supérieur à 9. 

	\begin{enumerate}
		\item Justifier que (E) admet deux solutions complexes non réelles. 
		\item Justifier que les solutions de (E) sont $z_{\text{A}} = 3 + \text{i}\sqrt{c - 9}$  et $z_{\text{B}} = 3 - \text{i}\sqrt{c - 9}$. 
	\end{enumerate}
\item On note A et B les points d'affixes respectives $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$. 

Justifier que le triangle OAB est isocèle en O. 
\item Démontrer qu'il existe une valeur du réel $c$ pour laquelle le triangle OAB est rectangle et déterminer cette valeur. 
\end{enumerate}

\paragraph*{Liban, mai 2019}~\par 
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ruv{} d'unité 2 cm. On appelle $f$ la fonction qui, à tout point $M$, distinct du point O et d'affixe un nombre complexe $z$, associe le point $M'$  
d'affixe $z'$ tel que:
\[z' = - \dfrac{1}{z}.\] 
\begin{enumerate}
\item On considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = - 1 + \text{i}$ et $z_{\text{B}} = \dfrac{1}{2} \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la forme algébrique de l'affixe du point A$'$  image du point A par la fonction $f$. 
		\item Déterminer la forme exponentielle de l'affixe du point B$'$ image du point B par la fonction~$f$. 
		\item Sur la copie, placer les points A, B, A$'$ et B$’$ dans le repère orthonormé direct \Ruv. Pour les points B et B$’$, on laissera les traits de construction apparents. 
	\end{enumerate}
\item Soit $r$ un réel strictement positif et $\theta$ un réel. On considère le complexe $z$ défini par $z = r\text{e}^{\text{i}\theta}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $z' = \dfrac{1}{r}\text{e}^{\text{i}(\pi - \theta)}$. 
		\item Est-il vrai que si un point $M$, distinct de O, appartient au disque de centre O et de rayon 1 sans appartenir au cercle de centre O et de rayon 1, alors son image $M’$ par la fonction $f$ est à l'extérieur de ce disque ? Justifier. 
	\end{enumerate}
\item Soit le cercle $\Gamma$ de centre K d'affixe $z_{\text{K}} = -\dfrac{1}{2}$  et de rayon $\dfrac{1}{2}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer qu'une équation cartésienne du cercle $\Gamma$ est $x^2 + x + y^2 = 0$. 
		\item Soit $z = x + \text{i}y$ avec $x$ et $y$ non tous les deux nuls. Déterminer la forme algébrique de $z’$ en fonction de $x$ et $y$. 
		\item Soit $M$ un point, distinct de O, du cercle $\Gamma$. Montrer que l'image $M’$ du point $M$ par la fonction $f$ appartient à la droite d'équation $x = 1$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\paragraph*{Métropole, septembre 2017}~\par 

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé \Ruv. À tout point $M$ d'affixe $z$, on associe le point $M’$ d'affixe:
\[z’ = - z^2 + 2z.\]
Le point $M’$ est appelé image du point $M$.

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation :
\[- z^2 + 2z - 2 = 0.\] 
En déduire les affixes des points dont l'image est le point d'affixe 2. 
\item Soit $M$ un point d'affixe $z$ et $M’$ son image d'affixe $z’$. 

On note $N$ le point d'affixe $z_N = z^2$. 

Montrer que $M$ est le milieu du segment $[NM’]$. 
\item Dans cette question, on suppose que le point $M$ ayant pour affixe $z$, appartient au cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon 1. On note $\theta$ un argument de $z$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le module de chacun des nombres complexes $z$ et $z_N$, ainsi qu'un argument de $z_N$ en fonction de $\theta$. 
		\item Sur la figure donnée en annexe page 7, on a représenté un point $M$ sur le cercle $\mathcal{C}$. 

Construire sur cette figure les points $N$ et $M'$ en utilisant une règle et un compas (on laissera les traits de construction apparents). 
		\item Soit A le point d'affixe 1. Quelle est la nature du triangle A$MM’$ ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[->,>=latex] (-3.5,0) -- (3.5,0);
\draw[->,>=latex] (0,-3.5) -- (0,3.5);
\node[below left] at (0,0) {O};
\node[below right] at (3,0) {A};
\node[below left] at (-3,0) {$-1$};
\node[below left] at (0,-3) {$-1$};
\node[above left] at (0,3) {$1$};
\fill (30:3) circle(2pt) node[above right] {M};
\draw (0,0) circle (3);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\end{document}