\exercice[style=R,N=3,verif]{Application complexe  $f(z)=\frac{z-2+\i}{z+2\i}$}

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ruv, unité graphique 4 cm.\\
Soit $f$ la fonction qui, à tout nombre complexe $z$ différent de $-2\i$, associe :
\[ Z=f(z)=\frac{z-2+\i}{z+2\i}.\]
On appelle A et B les point d'affixes respectives $z_A=2-\i$ et $z_B=-2\i$.

\begin{enumerate}
\item Si $z=x+\i y$, $x$ et $y$ étant deux réels, exprimer la partie réelle et la partie imaginaire de $Z$ en fonction $x$ et $y$. En déduire la nature de :
\begin{enumerate}
\item l'ensemble E des points M d'affixe $z$ tels que $Z$ soit un réel ;
\item l'ensemble F des points M d'affixe $z$ tels que $Z$ soit un imaginaire pur éventuellement nul ;
\item l'ensemble G des points M d'affixe $z$ tels que $|Z|=1$.
\end{enumerate}

\item Déterminer les ensembles E, F et G sans utiliser les parties réelle et imaginaire de $Z$.

\item Représenter ces trois ensembles.

\item Calculer $|Z-1|\times|z+2\i|$ et en déduire que les points $M'$ d'affixe $Z$, lorsque le point $M$ d'affixe $z$ parcourt le cercle de centre B et de rayon $\sqrt{5}$ sont tous sur un m\^eme cercle dont on précisera l'affixe du centre et le rayon.
\end{enumerate}
\newpage
