\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Dans un premier temps, pour tout $\omega_k=e^{\frac{2ik\pi}{n}}$, $k \in \{0,1,2,\ldots,n-1\}$, $\omega_k^n=e^{2ik\pi}=1$.\\
Donc les éléments de $\mathbb{U}_n$ sont bien des racines $n$-ièmes de l'unité.

\medskip

Réciproquement, tout nombre complexe $z=re^{i\theta}$, $\theta \in [o;2\pi[$, $r \in \mathbb{R}_+$, étant une racine de l'unité vérifie l'égalité : $r^ne^{in\theta}=1$ (par définition) c'est-à-dire $r^ne^{in\theta}=e^{i0}$.\\
Or, deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leur module sont égaux et leur argument sont aussi égaux (modulo 2$\pi$). Donc :
\[ \left\lbrace\begin{array}{l} r^n=1 \\ n\theta = 2k\pi, k \in \mathbb{Z} \end{array}\right.\]
Soit :\[ \left\lbrace\begin{array}{l} r=1 \textrm{ car } r \in \mathbb{R}_+ \\ \theta = \frac{2k\pi}{n} \end{array}\right.\]
Or, nous avons pris $\theta$ dans l'intervalle $[0;2\pi[$ donc $0 \leq k < n$. 
Ainsi, si $z$ est une racine $n$-ième de l'unité, il s'écrit $e^{\frac{2ik\pi}{n}}$ où $k$ est un entier compris entre 0 et $n-1$.

\medskip

\underline{Ainsi, $\mathbb{U}_n=\left\lbrace \omega_k=e^{\frac{2ik\pi}{n}},k \in \{0,1,2,\ldots,n-1\}\right\rbrace$.}

\item Notons $\omega=e^{i\frac{2\pi}{n}}$. Alors, $\mathbb{U}_n=\left\lbrace w^k , k \in \{ 0,1,2,\ldots,n-1 \} \right\rbrace$.\\
La somme des racines $n$-ièmes de l'unité est donc : \[ \omega^0+\omega^1+\omega^2+\cdots+\omega^{n-1}=\frac{1-\omega^n}{1-\omega}=0 \qquad \textrm{car, par définition, } \omega^n=1\]

\item

Pour $k \in \{0,1,2,\ldots,n-1\}$, on a : \[ \left( \overrightarrow{OA_k},\overrightarrow{OA_{k+1}}\right) = arg\left(\frac{\omega_{k+1}}{\omega_k} \right) = e^{\frac{2i\pi}{n}} [2\pi]\]
en ayant noté, par commodité, $\omega_n=\omega_0=1$ et $A_n=A_0$.

\medskip

\underline{On en déduit alors que le polygone $A_0A_1\ldots A_{n-1}$ est régulier.}
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Soit $z = re^{i\theta} \in \mathbb{C}$. On a :
\[
z^n = Z \Longleftrightarrow r^ne^{in\theta} = Re^{i\Theta} \Longleftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{l}r^n=R\\ \theta = \frac{\Theta}{n}+\frac{2k\pi}{n}, k \in \mathbb{Z}\end{array}\right.\]
\underline{Les racines $n$-ièmes de $Z$ sont donc les $n$ nombres $\sqrt[n]{R}e^{i\left(\frac{\Theta}{n}+\frac{2k\pi}{n} \right)}, k \in \{0,1,2,\ldots,n-1\}$.}

\item Les racines quatrièmes de l'unité sont : 1, $-1$, $i$ et $-i$.\\
On connaît une racine particulière de $-1$ : $e^{i\frac{\pi}{4}}$. Les racines quatrièmes de $-1$ sont obtenues en multipliant les racines quatrièmes de l'unité par la racine quatrième particulière : $$e^{i\frac{\pi}{4}} , -e^{i\frac{\pi}{4}} , ie^{i\frac{\pi}{4}} , -ie^{i\frac{\pi}{4}} $$ c'est-à-dire : $$ e^{i\frac{\pi}{4}} , e^{i\frac{-3\pi}{4}} , e^{i\frac{3\pi}{4}} , e^{-i\frac{\pi}{4}}$$

Or, les racines de $x^4+1$ sont précisément les racines quatrièmes de $-1$ d'où : \[ f(x)=x^4+1=\left(x-e^{i\frac{\pi}{4}} \right)\left(x-e^{-i\frac{\pi}{4}} \right)\left(x-e^{i\frac{3\pi}{4}} \right)\left(x-e^{-i\frac{3\pi}{4}} \right)\]
Soit : \[ f(x) = \left(x^2-2x\cos\frac{\pi}{4}+1 \right)\left(x^2-2x\cos\frac{3\pi}{4}+1 \right) \]
\[ \underline{f(x)=\left(x^2-x\sqrt{2} +1\right)\left(x^2+x\sqrt{2} +1\right)}\]

\item On sait que $1+z^4+z^8=0$. Donc, en multipliant par $z$, $z^2$ et $z^3$, on a : $$z+z^5+z^9=0 \qquad ; \qquad z^2+z^6+z^{10}=0 \quad ; \qquad z^3+z^7+z^{11}=0$$
En sommant les quatre égalités, on a : $$\sum_{k=1}^{11}z^k=0 $$
$z$ étant différent de 1, cela nous donne : $$\frac{1-z^{12}}{1-z}=0\;, $$
soit : $$z^{12}=1.$$
\underline{$z$ est donc une racine douzième de l'unité.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
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