\exercice[style=R,N=5,verif]{Racines $n$-ièmes de l'unité}

Soit $n$ un entier naturel non nul.

On appelle \textit{racine n-ième de l'unité} tout nombre complexe $z$ tel que $z^n=1$.

On note $\mathbb{U}_n$ l'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité. Par exemple, $\mathbb{U}_2=\{-1;1\}$.

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\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $\mathbb{U}_n=\left\lbrace e^{\frac{2ik\pi}{n}},k \in \{0,1,2,\ldots,n-1\}\right\rbrace$.
\item Démontrer que la somme des racines $n$-ièmes de l'unité est nulle.
\item Démontrer que, dans un repère orthonormal $\left(O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$, les points $A_k$ ($0\leq k \leq n-1$) d'affixes respectives $\omega_k=e^{\frac{2ik\pi}{n}}$ sont les sommets d'un polygone régulier.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Soit $Z \in \mathbb{C}$. On appelle racine $n$-ième de $Z$ tout nombre complexe $z$ tel que $z^n=Z$.\\Soient $R=\mid Z \mid$ et $\Theta$ un argument de $Z$. \\Démontrer que $Z$ admet les $n$ racines $n$-ièmes suivantes : \[ \sqrt[n]{R}e^{i\left( \frac{\Theta}{n} + \frac{2k\pi}{n}\right)} \quad , \quad 0 \leq k \leq n-1 \]
\item Soit $f$ la fonction polynôme définie par $f(x)=x^4+1$.\\Déterminer les racines quatrièmes de $(-1)$ puis en déduire que $f$ peut s'écrire comme un produit de deux fonctions polynômes de degré 2 à coefficients réels.
\item Soit $z$ un nombre complexe tel que $1+z^4+z^8=0$.\\Démontrer que $z$ est une racine douzième de l'unité.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
