\begin{enumerate}
\item Par substitution, on a : $v=-u-\frac{1}{2}$ (d'après la première équation). Ainsi, la seconde équation nous donne : 
\[
\left(-u-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{4}\;,\]
d'où : 
\[
4u^2+2u-1=0.
\]
Le discriminant du membre de gauche est : $\Delta = 20$, d'où les deux solutions suivantes : 
\[
u_1=\frac{-1-\sqrt{5}}{4} \qquad ; \qquad u_2=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}.
\]
On en déduit alors les valeurs de $v$ correspondantes : 
\[
v_1=-u_1-\frac{1}{2}=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4} \qquad ; \qquad v_2=-u_2-\frac{1}{2}=\frac{-1-\sqrt{5}}{4}.
\]
Le système admet donc deux couples de solutions : 
\[
\boxed{\left\lbrace \left( \frac{-1-\sqrt{5}}{4} ; \frac{-1+\sqrt{5}}{4}\right) ; \left( \frac{-1+\sqrt{5}}{4} ; \frac{-1-\sqrt{5}}{4}\right)\right\rbrace}.
\]

\item Il s'agit ici de la somme des 5 premiers termes d'une suite géométrique de raison $\omega$ donc : \[ 1+\omega + \omega^2 + \omega^3+\omega^4=\frac{1-\omega^5}{1-\omega} = 0 \qquad \textrm{car } \omega^5=1.\]
On a alors : \[ 1+\e^{i\frac{2\pi}{5}} + \e^{i\frac{4\pi}{5}} + \e^{i\frac{6\pi}{5}} + \e^{i\frac{8\pi}{5}} = 0\;,\]
soit : \[ 1+\e^{i\frac{2\pi}{5}} + \e^{i\frac{4\pi}{5}} + \e^{-i\frac{4\pi}{5}} + \e^{-i\frac{6\pi}{5}} = 0.\]
Ainsi : \[ 1+2\cos\frac{2\pi}{5}+2\cos\frac{4\pi}{5}=0 \qquad \textrm{(Formules d'Euler)}\;,\]
soit : \[ \boxed{\cos\frac{2\pi}{5}+\cos\frac{4\pi}{5}= -\frac{1}{2}}.\]

\item En utilisant les formules d'additions trigonométriques, on a : 
\[ 
\cos \frac{2\pi}{5} \cos \frac{4\pi}{5} + \sin\frac{2\pi}{5}\sin\frac{4\pi}{5}=\cos\left(\frac{4\pi}{5}-\frac{2\pi}{5}\right)=\cos\frac{2\pi}{5}
\]

et : 

\[
\cos \frac{2\pi}{5} \cos \frac{4\pi}{5} - \sin\frac{2\pi}{5}\sin\frac{4\pi}{5}=\cos\left(\frac{4\pi}{5}+\frac{2\pi}{5}\right)=\cos\frac{6\pi}{5}=\cos\frac{-4\pi}{5}=\cos\frac{4\pi}{5}.
\]

\item En ajoutant membre à membre les égalités de la question précédente et en utilisant la question 2, on a :
\[ -\frac{1}{2}=2\cos\frac{2\pi}{5}\cos\frac{4\pi}{5} \qquad \textrm{d'où} \qquad \cos\frac{2\pi}{5}\cos\frac{4\pi}{5} = -\frac{1}{4}. \]

\item En posant $u=\cos\frac{2\pi}{5}$ et $v=\cos\frac{4\pi}{5}$, on arrive au même système que celui de la question 1. Or, $u>0$ et $v<0$. On en déduit que le couple solution est : \[\boxed{\cos\frac{2\pi}{5}=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}} \qquad \textrm{et} \qquad \boxed{\cos\frac{4\pi}{5} = \frac{-1-\sqrt{5}}{4}}.\]

\item L'égalité $\cos 2a = 2\cos^2a-1$ lorsque $a=\dfrac{\pi}{5}$ donne :
\[ \cos \dfrac{2\pi}{5} = 2\cos^2\dfrac{\pi}{5}-1\;,\]
soit
\[ \cos^2\dfrac{\pi}{5}=\dfrac{1}{2}\left(\cos\dfrac{2\pi}{5}+1\right).\]
D'après la question précédente, on peut alors écrire :
\begin{align*}
\cos^2\dfrac{\pi}{5} & = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}+1\right)\\
\Aboxed{\cos^2\dfrac{\pi}{5}& = \dfrac{3+\sqrt{5}}{8}}
\end{align*}

Or, $0<\dfrac{\pi}{5}<\dfrac{\pi}{2}$ donc $\cos\dfrac{\pi}{5}>0$. D'où :
\[
\cos\dfrac{\pi}{5}=\sqrt{\dfrac{3+\sqrt{5}}{8}}=\dfrac{\sqrt{3+\sqrt{5}}}{2\sqrt{2}}.
\]
Posons : 
\[ \sqrt{3+\sqrt{5}}=a+b\sqrt{5}.\]
Alors, 
\[ 3+\sqrt{5}=\left(a+b\sqrt{5}\right)^2=a^2+5b^2+2ab\sqrt{5}.\]
Par identification, on obtient alors :
\[
\left\lbrace
\begin{array}{l@{{}={}}l@{\qquad}l}
3 & a^2+5b^2 & \text{nombre entier}\\
1 & 2ab & \text{coefficient de }\sqrt{5}
\end{array}
\right.
\]
De la seconde égalité, on a :
\[ b=\dfrac{1}{2a}\;,\]
et donc, de la première, on déduit :
\[
3=a^2+\dfrac{5}{4a^2}
\]
soit :
\[
4a^4-12a^2+5=0.
\]
En posant $A=a^2$, on obtient :
\[ 4A^2-12A+5=0.\]
Le discriminant du membre de gauche est :
\[ \Delta=144-4\times4\times5=64.\]
Il y a donc deux solutions à la dernière équation :
\[
A_1=\dfrac{12-\sqrt{64}}{8}=\dfrac{1}{2}\qquad;\qquad A_2=\dfrac{5}{2}.
\]
On a alors :
\[ a_1=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\quad\text{ou}\quad a_1=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\qquad ; \qquad a_2=\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\quad\text{ou}\quad a_2=-\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}.
\]

Prenons $a=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Alors, $b=\dfrac{1}{2a}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Ainsi, $\sqrt{3+\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(1+\sqrt{5}\right)$, et donc 
\[ \cos\frac{\pi}{5}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(1+\sqrt{5}\right)\]
soit :
\[
\boxed{\cos\dfrac{\pi}{5}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}}
\]
\end{enumerate}
